高中数学-公式-柯西不等式

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第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2 ① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2. 证法一：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=….=(adbc)20

证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(acbd)2(adbc)2(acbd)2. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|a2b2，|n|c2d2.

∵ m•nacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|. ∴ ….. 证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立.

∴ [2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式：

a2b2c2d2|acbd| 或 a2b2c2d2|ac||bd| 或a2b2c2d2acbd.

④ 提出定理2：设,是两个向量，则||||||. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）

→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）

⑤ 练习：已知a、b、c、d为实数，求证a2b2c2d2(ac)2(bd)2. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ①

出示定理3：设x1,y1,x2,y2R，则x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2.

分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）

第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学过程：

(a2b2)(c2d2)(acbd)2；x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2

3. 如何利用二维柯西不等式求函数yx12x的最大值? 要点：利用变式|acbd|a2b2二、讲授新课：

1. 教学最大（小）值：

c2d2.

① 出示例1：求函数y3x1102x的最大值？

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→ 变式：y3x1102x → 推广：yabxcdefx,(a,b,c,d,e,fR) ② 练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值. 解答要点：（凑配法）x2y2 2. 教学不等式的证明：

1211

(xy2)(3222)(3x2y)2. 131313

11

2. xy

分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）

1111111212

)()]… 要点：(xy)()[(x)2(y)2][(

xy2xy2xy

① 出示例2：若x,yR，xy2，求证：

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a、bR，求证：(ab)()4. 3. 练习：

① 已知x,y,a,bR，且

1a1b

ab

1，则xy的最小值. xy

ab

要点：xy()(xy)…. → 其它证法

xy

② 若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,zR，且xyz1，求x

yz的最大值.

第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式

2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2 二、讲授新课：

1. 教学一般形式的柯西不等式：

① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？ ② 猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bnR，则 (a12a22

an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2

aaa

讨论：什么时候取等号？（当且仅当12n时取等号，假设bi0）

b1b2bn

联想：设Ba1b1a2b2anbn，Aa12a22an2，Cb12b22bn2，则有B2AC0，可联想到一

些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）

2222

fx）（a12a2an)x22(a1b1a2b2anbn)x(b12b2bn) ，则要点：令（

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2+（anxbn)20.

又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，

2(a1b1a2b2anbn)4(a12a22

④ 变式：a12a22

2

an2)(b12b22bn2)≤0

即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）

1

an2(a1a2an)2. （讨论如何证明）

n

2. 教学柯西不等式的应用：

① 出示例1：已知3x2yz1，求x2y2z2的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：

111yz

② 练习：若x,y,zR，且1，求x的最小值.

xyz23

③ 出示例2：若a>b>c，求证：要点：(ac)(

114

. 

abbcac

1111)[(ab)(bc)]()(11)24 abbcabbc

② 提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有 a1b1a2b2···+anbn (同序和)

a1c1a2c2+···+ancn (乱序和)

··+anb1 (反序和) a1bna2bn1+·

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/e1a7193d8c9951e79b89680203d8ce2f0166654e.html

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