滚动小专题(九) 矩形中的折叠问题 ——人教八下P64数学活动1的变式与应用 【教材母题】 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图)： (1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时，得到了线段BN.观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？通过证明可知，这是从矩形得到30°角的好方法，简单而准确，因此，15°，60°，150°等角就容易得到了． 【自主解答】 ∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°. 证明：过点N作NG⊥BC于点G. 由折叠知，△ABM≌△NBM，BN＝AB＝2BE. 1易知四边形BGNE是矩形，∴NG＝BE＝BN. 2∴在Rt△BNG中，∠NBG＝30°. 又∠ABM＝∠NBM， ∴∠ABM＝∠NBM＝∠NBG＝30°. 【方法归纳】 1.折叠的常见图形有： 2．折叠的性质：图形的折叠部分在折叠前后是全等图形，两图形关于折痕成轴对称． 3．折叠问题常用方法：(1)找出折叠后出现的等角、等边并结合图形本身特点借助于勾股定理构造方程求解；(2)利用相似三角形由相似比列方程求解． 1．(2016·南充)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上G点处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为(C) A．30° B．45° C．60° D．75° 第1题图 第2题图 2．将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠BAD′的大小是(A) A．30° B．45° C．50° D．60° 3．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点OAE上，折痕分别是CE，AF，则等于(B) EBA.3 B．2 C．1.5 D.2 第3题图 第4题图 4．如图，四边形ABCD是矩形，AB∶AD＝4∶3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE∶AC＝(D) A．1∶3 B．3∶8 C．8∶27 D．7∶25 5．取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图(2)； 第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图(3)． 若AB＝3，则EF的值是(B) A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2017·咸宁)如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合，若BE＝3，则折痕AE的长为6． 第6题图 第7题图 7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE，EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝23，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC的长为6． 8．对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1； 第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2. (1)证明：∠ABE＝30°； (2)证明：四边形BFB′E为菱形． 证明：(1)∵对折后AD与BC重合，折痕是MN， ∴点M是AB的中点． ∴A′是EF的中点． ∵∠BA′E＝∠A＝90°， ∴BA′垂直平分EF. ∴BE＝BF. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/5dc0f24d1dd9ad51f01dc281e53a580217fc5070.html