专题研究——杨辉三角形
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有趣的杨辉三角形 【教学目的】 1． 初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律； 2． 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力； 3． 了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感． 【教学手段】 课堂教学，以学生自学为主，教师引导探索。 【教学思路】 →学生自学教材，然后思考几个问题。 →分组探讨杨辉三角的性质。 →展示学生探究成果 →教学小结 【自学教材】； 1． 什么是杨辉三角？ 二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1） 例如，它的兩項的係數是1和1； ，它的三項係數依次是1、2、1； ，它的四項係數依次1、3、3、1。 2． 杨辉——古代数学家的杰出代表 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。 “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明 表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪． 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 3． 观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2） 4．杨辉三角基本性质 ▲教学意图 介绍杨辉三角蕴含的基本规律 （1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是Cnrn!． r!(nr)!（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是rr1rCnCn1Cn1． rnr（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即CnCn． （4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即 0n1n11rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb 【自学引导】 杨辉三角有趣的数字排列规律 注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！） （1）杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点？K第2行呢？ 第2K-1(k是正整数)行的各个数字均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数 （2）杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？ 如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数(素数) （3）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律： 012rn1nn第n行CnCnCnCnCnCn2 （4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发， 向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数． 例如：10＝1＋2＋3＋4， 20＝1＋3＋6＋10，．．． 于是有一般性结论： 一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第 m+1 条斜线上的第 n 个数． 根据这一性质，猜想下列数列的前n项和： 1＋1＋1＋ ．．．＋1＝ Cn （第1条斜线） 1＋2＋3＋ ．．．＋Cn1＝ Cn （第2条斜线） 1＋3＋6＋ ．．．＋Cn1＝ Cn（第3条斜线） 1＋4＋10＋ ．．．＋Cn1＝ Cn（第4条斜线） ．．． rr1CrrCrr1Crr2Cn1Cn （第r+1条斜线） 3423121 （5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？ 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．． 此数列{an}满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2 (n≥3) 这就是著名的斐波那契数列（斐波那契，中世纪意大利数学家，传世之作《算术之法》）． 结论：斜线上各行数字的和,正好组成斐波那契数列． （6）杨辉三角与“纵横路线图” “纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种4不同的走法？C870 我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．有什么有趣的结论 一般地, 每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数． 由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系． （7）计算11的1、2、3、……次幂，看一看与杨辉三角有 什么有趣的联系？ （8）杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛， ．．．）我国古代数学的伟大成就——堆垛术，学生自行探究 将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/73f1c7267fd184254b35eefdc8d376eeafaa175f.html