二面角·典型例题分析 例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。 分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。 解 ∵ PC⊥平面ABC ∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角。 设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是 ∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC＝45°∴ 在Rt△DEA 评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。 例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。（图1－126） 分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ. 同理，有PB⊥a， ∵ PA∩PB=P， ∴ a⊥面PAQB于Q 又 AQ、BQ 平面PAQB ∴ AQ⊥a，BQ⊥a. ∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角。 ∴ ∠AQB＝60° 连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有 ∠PAQ＝∠PBQ=90° ∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R 在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA＝180°-60°=120°，由余弦定理得 AB2＝1＋4-2×1×2cos120°＝7 由正弦定理： 例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB＝a 求（1）二面角B－PC－D的大小；（2）平面PAB和平面PCD所成二面角的大小。 分析 二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱。 解 （1）∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC ∴ BD⊥PC（三垂线定理） 在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角。 在Rt△PAB中，由PA＝AB=a ∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB ∴ BC⊥PB（三垂线定理） 在Rt△PBC中， 在△BDE中，根据余弦定理，得 ∴ ∠BED＝120° 即二面角B－PC－D的大小为120°。 （2）过P作PQ ∥AB，则PQ 平面PAB， ∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ 平面PCD ∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ ∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ ∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD ∴ CD⊥PD（三垂线定理的逆定理） ∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ 所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角。 ∵ PA＝AB=AD，∴∠APD=45° 即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a0ba9dd00142a8956bec0975f46527d3240ca690.html