2018-2019学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文科)
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2018-2019学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2x0”的否定是( ) 1．（5分）命题“x0R，x02x0 A．x0R，x0B．xR，x2x D．xR，x2x 2x0 C．x0R，x02．（5分）已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a11，a20193，则a1010的值为( ) A．9 B．3 C．3 D．3 3．（5分）在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（5分）双曲线y23x29的渐近线方程为( ) A．x3y0 B．x3y0 C．3xy0 D．3xy0 5．（5分）已知ABC中，满足a3，b2，B30，则这样的三角形有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 6．（5分）已知两点F1(2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为( ) x2A．4x2C．16y21 3y21 4x2y2B．1 84x2y2D．1 161217．（5分）抛物线yx2的焦点坐标是( ) 8A．(0,4) B．(0,2) 1C．(,0) 2D．(1,0) 320xy2…08．（5分）实数x，y满足xy…，则z3xy的最小值是( ) x„1第1页（共17页） A．4 B．2 C．0 D．4 9．（5分）已知函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的是下图中的( ) A． B． C． D． 10．（5分）设p:f(x)则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 48x对任意x0恒成立，xmlnx在(0，1]内单调递减，q:m…23x4B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2y211．（5分）已知A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，4则ABC面积的最大值为( ) A．21 B．12 C．22 D．22 12．（5分）对于函数f(x)x，下列说法正确的有( ) ex1①f(x)在x1处取得极大值；②f(x)有两个不同的零点；③f（4）f()f（3）；e④e22ex A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）在数列{an}中，a11，an1an1(nN*)，则an ． n(n1)第2页（共17页） 14．（5分）已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ． 15．（5分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东75方向航行15海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 海里． x2y2x2y216．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1:221(a1b10)与双曲线C2:221(a20，a1b1a2b2b20)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若双曲线C2的离心率e232，则椭圆C1的离心率e1的值为 ． 2三、解答题：本大題共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． x2y20，若pq17．（10分）已知p：方程1表示双曲线，q:x[1，2]，x2a…a2a2为真，pq为假，求实数a的取值范围． a2b2c2c，18．（12分）在ABC中角A，且b，C的对边分别是a，B，ab（Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若ABC的面积为3，求边b的取值范围． n2isAnisCnisB． 19．（12分）已知等差数列{bn}中，bn1og2(ann)，nN*，且a13，a311． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn． 20．（12分）2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌．40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若已知市财政下拨一项专款100（百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（单位：百万元），M(x)50x，处理污染项目五年内带来的生态受益可表10x示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（单位：百万元），N(x)0.2x． （1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域； 第3页（共17页） （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线yx1上． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线段AB、EF的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标． 22．（12分）已知函数f(x)12x2alnx(a2)x，aR． 2（Ⅰ）当a0时，求函数f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，讨论函数f(x)的单调性； （Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2(0,)，且x1x2有恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在；说明理由． f(x2)f(x1)1(x2x1)ax2x12第4页（共17页） 2018-2019学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 2x0”的否定是( ) 1．（5分）命题“x0R，x02x0 A．x0R，x0B．xR，x2x D．xR，x2x 2x0 C．x0R，x02x0”的否定为“【解答】解：命题“x0R，x0“xR，x2x”， 故选：D． 2．（5分）已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a11，a20193，则a1010的值为( ) A．9 B．3 C．3 D．3 【解答】解：数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，a11，a20193， q0， 2018a1q32019a10101q10093． 故选：B． 3．（5分）在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解答】解：在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C， 则由正弦定理可得a2b2c2，即b2c2a2， b2c2a2再由余弦定理可得，cosA0， 2bc即有A为钝角， 则三角形ABC为钝角三角形． 第5页（共17页） 故选：C． 4．（5分）双曲线y23x29的渐近线方程为( ) A．x3y0 B．x3y0 22C．3xy0 D．3xy0 y2x2【解答】解：由双曲线y3x9化为1，可得a29，b23， 93a3，b3． 渐近线方程为y33x，即3xy0． 故选：C． 5．（5分）已知ABC中，满足a3，b2，B30，则这样的三角形有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【解答】解：ABC中，a3，b2，B30， 由正弦定理得，ab， sinAsinB32， sinAsin30sinA3，A(0,)，且ab， 4这样的三角形有2个． 故选：C． 6．（5分）已知两点F1(2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为( ) x2A．4x2C．16y21 3y21 4x2y2B．1 84x2y2D．1 1612【解答】解：F1(2,0)、F2(2,0)， |F1F2|4， |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项， 2|F1F2||PF1||PF2|， 即|PF1||PF2|8， 第6页（共17页） 点P在以F1，F2为焦点的椭圆上， 2a8，a4 c2，b212， x2y2椭圆的方程是：1． 1612故选：D． 17．（5分）抛物线yx2的焦点坐标是( ) 8A．(0,4) B．(0,2) 1C．(,0) 2D．(1,0) 32p1【解答】解：抛物线yx2的标准方程为x28y，p4，2，开口向下， 28故焦点坐标为(0,2)， 故选：B． 0xy2…8．（5分）实数x，y满足xy…，则z3xy的最小值是( ) 0x„1A．4 B．2 C．0 D．4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z3xy得y3xz 平移直线y3xz由图象可知当直线y3xz经过点B时，直线y3xz的截距最大， 此时z最小． xy20x1由，解得， xy0y1即A(1,1)， 此时z314， 故选：A． 第7页（共17页） 9．（5分）已知函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的是下图中的( ) A． B． C． D． 【解答】解：由原函数图象可知，原函数在(,2)上为增函数，在(2,0)上为减函数，在(0,)上为增函数， 可得f(x)在(，2)(0，)上大于0恒成立，在(2,0)上小于0恒成立， 则函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的是B． 故选：B． 10．（5分）设p:f(x)则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 48x对任意x0恒成立，xmlnx在(0，1]内单调递减，q:m…23x4B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第8页（共17页） 【解答】解：f(x)由f(x)则f(x)4m， 3x4xmlnx在(0，1]内单调递减， 34m„0，在x(0，1]恒成立， 3x4x易得；m…在x(0，1]恒成立， 34即m…， 34即：p:m…， 3因为当x0时，8x88„2， x24x442xxx8x又m…2对任意x0恒成立， x4则m…2， 即q:m…2， 即p是q的必要不充分条件， 故选：B． y211．（5分）已知A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，42则ABC面积的最大值为( ) A．21 B．12 2C．22 D．22 y2【解答】解：A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点， 4A(1,0)，B(0,2)，|AB|5， 直线AB的方程为：2xy20， C是该椭圆上的动点， 设C(cos,2sin)， 则点C到直线AB的距离： |2cos2sin2|5|22sin(54)2|d， 当sin(4)1时，dmax2225， 第9页（共17页） 1122221． ABC面积的最大值为(SABC)max|AB|dmax5225故选：B． 12．（5分）对于函数f(x)x，下列说法正确的有( ) ex1①f(x)在x1处取得极大值；②f(x)有两个不同的零点；③f（4）f()f（3）；e④e22ex A．1个 【解答】解：函数f(x)B．2个 C．3个 D．4个 x1x，可得的导数为， f(x)f(x)exex当x1时，f(x)0，f(x)递减；当x1时，f(x)0，f(x)递增． 1可得f(x)在x1处取得极大值，且为最大值，故①正确； ef(x)只有零点0，故②错误； 由f(x)在x1递减，且43， 可得f（4）f()f（3），故③正确； 由f(x)在x1递减，且21， 可得e2，即e22ex，故④错误． 2e故选：B． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）在数列{an}中，a11，an1an【解答】解：a11，an1anan1an11(nN*)，则an 2 ． n(n1)n1(nN*)， n(n1)111，(nN*)， n(n1)nn11则a2a11， 2a3a211， 23 anan111， n1n等式两边同时相加得 第10页（共17页） 1ana11， n故an21， n1 n故答案为：214．（5分）已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 (，1)(2，) ． 【解答】解：f(x)x33ax23(a2)x1f(x)3x26ax3(a2) 函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值 △(6a)2433(a2)0 a2或a1 故答案为：(，1)(2，) 15．（5分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东75方向航行15海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 56 海里． 【解答】解：以O为原点建立直角坐标系，如图所示； 设南偏东30方向为射线OM， 船沿南偏东75方向航行15海里后到达A点， 过A作x轴平行线，交y轴于D点，交OM于B点， 则DOA3045，cosDOAODOAcos7515(62)， 4OD， OA又sinDOAAD， OA15(62)； 4BD又DOB30，tanDOB， ODADOAsin75BDODtan3015256； 4ABADBD56． 故答案为：56． 第11页（共17页） xy2x2y216．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1:221(a1b10)与双曲线C2:221(a20，a1b1a2b22 b20)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若双曲线C2的离心率e2323，则椭圆C1的离心率e1的值为 ． 24【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1||MF2|2a1，|MF1||MF2|2a2， 所以|MF1|a1a2，|MF2|a1a2． 因为F1MF290， 所以|MF1|2|MF2|24c2， 即(a1a2)2(a1a2)24c2， 22c2， 即a12a2由e1即有cc，e2， a1a2112， e12e2232， 21163所以2，可得e1， e194因为e2故答案为：3． 4三、解答题：本大題共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． x2y20，若pq17．（10分）已知p：方程1表示双曲线，q:x[1，2]，x2a…a2a2为真，pq为假，求实数a的取值范围． x2y2【解答】解：当p为真时，即方程1表示双曲线，则(a2)(a2)0，即a2a2第12页（共17页） 2a2， 0，即1a…当q为真时，即：x[1，2]，x2a…0，则(x2a)min…0，即a„1， 又pq为真，pq为假，则p、q一真一假， 2a2a剠2或a2即或，解得：a„2，或1a2， a1a„1故答案为：(，2](1,2)． a2b2c2c，18．（12分）在ABC中角A，且b，C的对边分别是a，B，ab（Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若ABC的面积为3，求边b的取值范围． n2isAnisCnisB． a2b2c22sinAsinC【解答】解：（Ⅰ）， absinB2abcosC2ac由正弦定理，余弦定理可得：，可得：2bcosCc2a， abb2sinBcosCsinC2sinA， 2sinBcosCsinC2sin(BC)2sinBcosC2cosBsinC，可得：sinC2cosBsinC，sinC0， cosB1． 2B(0,)， B3． （Ⅱ）Bac4， 13，ABC的面积为3acsinBac， 2432acacac4，当且仅当ac时等号成立， 由余弦定理可得：b2a2c2ac…b…2．可得边b的取值范围是：[2，)． 19．（12分）已知等差数列{bn}中，bn1og2(ann)，nN*，且a13，a311． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn． 【解答】解：（Ⅰ）等差数列{bn}的公差设为d，且a13，bn1og2(ann)，a311， nN*，第13页（共17页） 可得b1log2(a11)1，b3log2(a33)3， 可得db3b11， 2则bnb1(n1)d1n1n； （Ⅱ）由bn1og2(ann)n， 可得ann2n， 则前n项和Sn(12n)(242n) 12(12n) n(n1)2121(n2n)2n12． 220．（12分）2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌．40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若已知市财政下拨一项专款100（百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（单位：百万元），M(x)50x，处理污染项目五年内带来的生态受益可表10x示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（单位：百万元），N(x)0.2x． （1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域； （2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【解答】解：（1）yM(x)N(x)（2）由（1）得到y„72250x0.2(100x)，x[0，100]， 10x50(x10)50050010x0.2(10x110)5022 10x10x550010x722052 10x5当且仅当50010x取等号，即x40时，取等号． 10x5所以y的最大值为52万元，分别投资给植绿护绿和处理污染两个生态维护项目40万和60第14页（共17页） 万元． 21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线yx1上． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线段AB、EF的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线yx1上， 可得F(1,0)，即有p1，即p2， 2抛物线的方程为y24x； （Ⅱ）证明：易知直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设直线l1的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线l1:yk(x1)，M(yy2x1x2，1)， 22由y24x和yk(x1)得k2x2(2k24)xk20， △(2k24)24k416k2160， x1x22M(144，， yyk(xx2)12122kk22，)， 2kk1由垂直的条件，可将k换为， k同理得N(12k2，2k)， 当k1或k1时，直线MN的方程为x3； 当k1，k1时，直线MN的斜率为直线MN的方程为y2kk， 1k2k2(x12k2)，即(k1)y(x3)k0， 21k直线MN过定点，其坐标为(3,0)． 22．（12分）已知函数f(x) 12x2alnx(a2)x，aR． 2第15页（共17页） （Ⅰ）当a0时，求函数f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，讨论函数f(x)的单调性； （Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2(0,)，且x1x2有恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在；说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)， 由f(x)12x2alnx(a2)x， 212x2x， 2f(x2)f(x1)1(x2x1)ax2x12当a0时，f(x)f(x)x2， f（1）132，f（1）1， 2231(x1)， 2函数f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y即2x2y10； （Ⅱ）2ax2(a2)x2a(x2)(xa)． f(x)xa2xxx当0a2时，若x(0,a)，f(x)0，f(x)为增函数； 若x(a,2)，f(x)0，f(x)为减函数； 若x(2,)，f(x)0，f(x)为增函数． 0，f(x)为增函数； （2）当a2时，在(0,)上f(x)…（3）当a2时，若x(0,2)，f(x)0，f(x)为增函数； 若x(2,a)，f(x)0，f(x)为减函数； 若x(a,)，f(x)0，f(x)为增函数． （Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的x1，x2(0,)，且x1x2， 有f(x2)f(x1)1(x2x1)a恒成立， x2x12不妨设0x1x2， 1111即x222alnx2(a2)x2x122alnx1(a2)x1 x22x12ax2ax1， 2222也就是alnx2x2alnx1x1 恒成立， 构造函数g(x)alnxx，则需函数g(x)在(0,)上为减函数． 第16页（共17页） g(x)aax1„0在(0,)上恒成立． xxax„0在(0,)上恒成立，即a„x在(0,)上恒成立． a„0． 故存在实数a(，对任意的x1，且x1x2有0]，x2(0,)，恒成立． f(x2)f(x1)1(x2x1)ax2x12第17页（共17页） 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ad0759c282c758f5f61fb7360b4c2e3f572725ab.html