龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 中学数学仍应使用蕴含符号 作者：刘万东 来源：《新课程·上旬》2013年第11期 中学引入了命题逻辑的部分内容，其中蕴含命题采取了“如果P，那么q”的表达形式，其实用蕴含符号后，可表为P→q，显得很简单，中学一度使用过这个符号，因在教学中遇到一些问题，又取消了这个符号。 一、“→”与“ ”用于不同场合，但又可相互转化 平时推理中，经常使用“推出”符号，形式化后可表示为P q，而数理逻辑中有P→q，这两者是什么关系？数理逻辑中，研究逻辑时又要用到逻辑，这就有了两种逻辑。一个是作为研究对象的逻辑，称为对象逻辑，用对象语言表示，一个是研究对象语言时所用的逻辑，称为元逻辑，用元语言表示。用元语言和对象语言区分这两种逻辑。P→q属于对象语言，P q属于元语言，前者是研究的对象，后者是研究的手段，两者是不同的。在对象语言中，突出考虑在P、q的各种赋值下，P→q的真假值情况，因此P→q的真值可真可假。但在元语言中，我们要求推理有效，故要求P q取真值。即我们写出P q时，总是默认P q取值为真的，而且不予专门指出。但写出P→q时，总是认为其真假值依赖于具体赋值待定的，具体取值为何要专门指出。由于这两者使用上的不同特点，将它们区分成元语言和对象语言就很有必要，否则会引起混乱。例如，只用P→q，在元语言其值为真，而在对象语言中其值待定，究竟P→q的值为真（按元语言理解）还是待定（按对象语言理解），就不能确定了。历史上，罗素和怀德海合著的《数学原理》，未能将两者区分，一度使读者引起混乱，后来德国数学家希尔伯特区分了这两种语言，避免了混乱。 但“→”与“ ”两者又有密切关系，并可相互转化。例如，P q是元语言中的符号，其真值默认为真。但由于研究时疏忽或出错，P q也可能为假，当我们审视P q的真假时，其实就是将P q对象化了（即研究P q何时真何时假），此时P q的真假与P→q是相同的。当我们要求P→q=T时，即将P→q元语言化，P→q与P q意义相同。因此，在某些元语言中，也用“→”代替“ ”表示推出。另外，“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，都是元语言中的命题，和“P q”一样，也与元语言化后的P→q（即要求P→q=T）相同，都表示有效推理。反过来，研究它们的真假，把它们对象化，则它们都与P→q等价，一真皆真，一假皆假。由于“→”与“ ”两者使用场合可以相互转化，因此，分清“→”与“ ”是用于元语言（即要求取真值）还是用于对象语言（即考查其真假），对于准确地理解两者的含义和作用就是十分重要的。 二、P=F时，规定P→q=T，似乎不合理 这一规定使得假前提的任意推理都“有效”，从而显得难以理解。一般认为P=F时，P→q应该没有意义，但这样一来，命题的取值除了T、F之外，又要有第3种情况（即“无意义”）了，这确实也可以考虑，并且在此基础上发展出了“三值”甚至多值逻辑。但如果在二值逻辑中龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 考虑，P=F时规定P→q=T是不得不接受的（否则此时就只能规定P→q=F，这就更不合理了。例如a R（a>5 a>3）是一个真命题，但当a=2时，由于a>5=F，按现在的规定a>5 a>3就成假命题了，而直观上很明显，不管a为何值，a>5 a>3都应是真命题）。数学上要求真的前提必导致真的结论，我们的规定与此要求并不矛盾，即与数学上有效推理的要求是协调的。虽然在我们这里的有效推理包含了假前提的情况，但在前提为假的情形，相应的结论在数学上被认为是无意义的，数学上有意义的结论不受影响。可见，允许假前提的推理“有效”（即P=F时，规定P→q=T），对数学的有效推理无害，至多只是多了一些在数学上无意义的“无效”部分。这虽然不够完美，权当作是对二值逻辑的一个让步，但退此一小步，却获得了二值逻辑的大踏步发展，形成了所谓的古典逻辑。 三、P→q表达“无意义”命题问题 P→q抽象于陈述因果关系的命题，从真值的侧面研究条件和结论的关系，但抽象后P→q表达的内容更加广阔，既可表达因果关系，又可表达任两个命题（不一定有因果关系）的关系，从而形成不具有因果联系的“无意义”命题。例如，“若太阳从东方升起，则3+1=4”就是这样的命题。其条件和结论并无因果联系，应为无意义命题，但却是真命题。其实，所谓的无意义命题，只是不具备普通的因果关系，但具有真值之间的联系，因而仍然有意义。而在中数中一般总是表达因果关系，并用元语言符号P q表示。当我们习惯于中数的命题，就会觉得非因果关系的命题无意义。其实，对象语言中的P→q是抽掉了命题的具体内容，舍弃其具体含义，只研究其真值，因而具有“T→T”，“F→T”等形式。而这种形式能概括因果关系，也能概括非因果关系。从这里又可看出P q和P→q的一个区别，用于元语言的P q一般表示因果关系，而用于对象语言的P→q一般表示任意两个命题真值间的联系。 经过上述分析，中学命题逻辑中，“如果P，那么q”这种命题仍应符号化为P→q，但须分清对象语言和元语言，注意与P q的区别。P q用于元语言，默认取真值，着重考虑真的前提保证真的结论，一般表达因果关系。而P→q用于对象语言，其真值待定，可表达非因果关系，反映真值间的联系。但两者之用于元语言还是对象语言，不是一成不变的，随着场合的不同两者又可相互转化。P q对象化后即为P→q，而P→q元语言化后即为P q。 最后需要说明的是，我们这里所说的元语言和对象语言借用了数理逻辑中证明论的术语，但与证明论中对象语言的高度形式化，及其探求数学基础的可靠性，是不一样的。我们这里只是用来说明P q和P→q用于不同的场合有不同的特点和要求，这是需要注意的。 （作者单位 江苏省建湖县高级技工学校） 编辑 谢尾合 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ae4222b12af90242a895e5ec.html