第六章三角函数(2011届)

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第六章三角函数

高一年级第二学期

第六章三角函数

1

第六章三角函数

一．三角函数的性质与图像

§6.1.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像（1）——值域与周期性

[教学目标]

知识与技能掌握正余弦函数的最值及对应的x的取值集合；掌握周期函数的概念，会求正余弦函数的周期. 过程与方法利用单位圆探索三角函数的性质，渗透数形结合的数学思想. 情感态度与价值观体会函数的周期性并能利用其观察和解释一些自然现象. [教学重点]

正余弦函数的最值及对应的x的取值集合. [教学难点] 周期函数的概念. [教学过程]

一．三角函数的定义

对每一个实数x都对应惟一确定的角度，这个确定的角度又对应惟一确定的正弦值sinx（或余弦值cosx），即每一个实数x都有唯一确定的值sinx（或cosx）与之对应，按这一对应法则建立的关系是一个函数关系，表示为ysinx（或ycosx），称为正弦函数（或余弦函数）. 正余弦函数的定义域为全体实数R.

二．正余弦函数的值域与最值（有界性）

由单位圆的性质可知，正弦函数ysinx的值域为1,1 当x2k



2

kZ时，ymax1，当x2k

3

kZ，ymin1； 2

A'AB'

B

C'

CD

D'

余弦函数ycosx的值域为1,1

当x2kkZ时，ymax1，当x2kkZ时，ymin1；有界性体现在sinx1；cosx1 例1 a为值时，cosx解：cosx1

3a1

有意义？ a3

13a113a1

有意义. 12a，即当2a时，cosx

2a3a32

例2 求函数y3sin2x解：当2x







6

的最值以及对应的x.



6

2k



2

xk



3

kZ时，ymax

3；

当2x



6

2k

35

xkkZ时，ymin3. 26

练习：求函数y2sin3x x





3

的最值以及对应的x.

2k72k

kZ,ymin2. kZ,ymax2；x318318

例3 如图，矩形ABCD的四个顶点分别在矩形A'B'C'D'的四条边上，ABa，BCb，

BAB'，问为何值时矩形A'B'C'D'周长最长.

解：由题意，B'Aacos,AA'bsinaA'B'acosbsin

同理，B'C'asinbcos 55

第六章三角函数

周长C2A'B'B'C'2acosbsinasinbcos 22absin 当

三．正余弦函数的周期性

1．复习周期函数定义：对于函数fx，若存在一个常数TT0，使得当x取定义域D内的一切值时，都有fxTfx成立，则称fx为周期函数，T为周期. 2．最小正周期：如果在所有周期中存在一个最小的正书，则称其为最小正周期.

3．例子： fxsinx,fx2ksinx2kfx，周期为2k，最小正周期为2. 4．概念说明：

（1）周期函数的周期往往不为一；

（2）注意定义中“一切值”的要求，即每一个值；

（3）周期函数不一定有最小正周期，如常函数fxc，任意正数都是其周期；（4）在提到三角函数的周期时，一般指最小正周期. 6．例题

例4 若fx是以3为周期的奇函数，且f21，求f4. 解：f4f43f1f13f2f21. 例5 求下列函数的周期：

通过熟悉的情景引入概念

周期函数还要求其定义域能向两边无限延伸

周期性与奇偶性相结合





4



4



2

，即

4

时，Cmax22ab.

1

（1）fx3cos2x；（2）fx2sinx.

623



23cos2xfx，为周期; 6612121

（2）fx2sinx22sinx2sinx 

23232333

解：（1）fx3cos2x







fx



22

为周期. ，33

2

一般地，函数yAsinx的周期为T

四．布置作业



，同理，yAcosx周期为T

2



.

要求记忆

1．求下列函数的最值，并指出相应的x的取值. （1）y2sinx;（2）y2cos2．求下列函数的周期： (1)ysin

x

;（3）y2cosx3（辅导训练 P50/1）. 33

31x

x;(2)y3cos4x;(3)ysinx;(4)y32sin. 44324

56

第六章三角函数

§6.1.2 正弦函数和余弦函数的性质与图像（2）——奇偶性与单调性

[教学目标]

知识与技能能判断正余弦函数的奇偶性；掌握正余弦函数的单调性，会求单调区间.

过程与方法利用诱导公式推导奇偶性，体现数学知识之间的联系；利用单位圆推导单调性，、渗透数形结合的数学思想. 情感态度与价值观进一步体验研究函数的基本方法. [教学重点]

正余弦函数的奇偶性判断和单调区间的求解. [教学难点]

函数yAsinx的单调区间的求解. [教学过程]

一．复习正余弦函数的最值和周期 1．求y3sin

x4

的最值及对应的x的值与周期. 23

25

4. 当x4k,kZ时，ymax3；当x4k3,kZ时，ymin3；T

13

2 2．求y2cos

x

的最值及对应的x的值与周期. 36

25

6. 当x6k,kZ时，ymax2；当x6k,kZ时，ymin2；T

122

3 二．正余弦函数的单调性

在诱导公式中，sinxsinx， cosxcosx ysinx为奇函数，ycosx为偶函数. 例1 判断下列函数的奇偶性

(1)fxsinxcosx;(2)fxcosxsinx; (3)fxsinxcosx;(4)fx

判断奇偶性先要考虑定义域

cosx

.

1sinx

解：(1)xR,fxsinxcosxsinxcosxfx,奇函数; （或者变换为fx

1

sin2x再判断） 2

(2)xR,fxcosxsinxcosxsinxfx,偶函数; (3)fx f



2sinx,取x,

44



ff4



f2,f0 44



f且

44

，非奇非偶函数; 4

3

kZ关于原点不对称，非奇非偶函数. 2

(4) 考虑定义域，1sinx0x2k 57

第六章三角函数

三．正余弦函数的单调性以及单调区间

考虑单位圆中的正弦线和余弦线，观察x变化时，正余弦线的长短正负变化

注意：”ysinx，x在第一象限是是增函数”是错误的，如在同一周期内则正确. 例2 （1）求y

应先利用诱导公式将已知角化到同一周期内

利用诱导公式先把

13

sin4x的递减区间; 234

（2）求y3sin（3）求ycos解：（1）2k



2x的递减区间; 3



2x的递减区间. 3



2

4x



3

2k

3k5k11

xkZ 2224224

所以递减区间为 （2）y3sin

k5k11,kZ;

242242



2x3sin2x，其递减区间为t3sin2x的递增区间，故

333



32k

2k



2

2x



2

k



12

xk

5

12

所以递减区间为k





12

,k

5

kZ; 12

x的系数化成正数

2

（3）ycos2xcos2x，故2k2x2kkxk，

36333 所以递减区间为k例3 求下列函数的增减区间

(1)y23sinxcosx2sinx;

解:y23sinxcosx2sin2x3sin2xcos2x12sin2x 由2k

2







6

,k

2

kZ. 3







6

1,

先化为



2

2x



6

2k



2

k



3

xk



6

,

所以函数的递增区间为k 由2k







,kkZ; 36

32

, kxk

263

yAsinx

的形式



2

2x



6

2k

所以递减区间为k四．布置作业







6

,k

2

kZ. 3

辅导训练 P55 基础训练1,2

58

第六章三角函数

§6.1.3 正弦函数和余弦函数的性质与图像（3）——正余弦函数的图像

[教学目标]

知识与技能掌握正余弦函数的图像特征；会用“五点法”作三角函数图像. 过程与方法 “五点法”作图.

情感态度与价值观体验数形结合的思想. [教学重点]

正余弦函数的图像特征. [教学难点]

数形结合地研究正余弦函数的性质. [教学过程]

一．复习ysinx,ycosx的性质 1．最值; 2.周期; 3.奇偶性; 4.单调区间二．正余弦函数的图像 1．用描点法作ysinx的图像

2. 五点法作图

在ysinx的图像的图像中,其关键作用的点有五

x

577  0 6366212

3

1 2

3 2

1 2

4 33 25 311

2 6

1

sinx 0

2

110  3 1 3 

2222

0

3

,1,,0,,1,2,0. 22

3. 用”五点法”作ycosx的图像

个:0,0,

三．正余弦函数的性质归纳

图像

3  2 22

cosx 1 0 1 0 1 x

0

ysinx

ycosx

数形结合

由函数图像归纳函数的性质

定义域值域

R R

1,1

奇函数

1,1

偶函数

奇偶性周期性单调性

T2 T2

在2k,2k递增在2k,2k递减



在2k,2k递增

2

3

在2k,2k递减 22

最值

59

x2kx2k

22

时，ymax1

x2k时，ymax1



时，ymin1

x2k1时，ymin1

第六章三角函数四. 例题

例1 作ysinx1,x0,2的图像.

解：先作出ysinx,x0,2的图像，再将其向上平移1个单位. 例2 作ycosx,x0,2的图像.

解：先作出ycosx,x0,2的图像，再作其关于x轴对称的图像.

例3 在同一坐标系中画出ycosx和ysinx的大致图像，并根据图像解不等式cosxsinx. 解：不等式的解集为x|2k3

4x2k

4,kZ

（图略）.

五．布置作业

60

第六章三角函数

§6.2.1 函数yAsinx的图像和性质（1）

[教学目标]

知识与技能会用五点法作函数yAsinx的图像；掌握图像的平移和伸缩. 过程与方法五点法作图，体会函数图像的平移和伸缩. 情感态度与价值观在图形的变化中体会数学的美. [教学重点] 五点法作图. [教学难点] 图像伸缩的过程 [教学过程] 一．复习

1. 正,余弦函数的图像,性质; 2. 五点法作图.

二．图像的变化

1．用五点法在同一坐标系中作出ysinx,y

yAsinxA0,A1

1

sinx,y2sinx的图像. 2

列表: 作图:

在横坐标不变的情况下，y

1

sinx的图像可以看做是把ysinx的图像上所有的点的纵坐标缩2

1

短到原来的倍而得到;y2sinx的图像可看做是把ysinx的图像上所有点的纵坐标伸长为原

2

来的2倍.

所以，yAsinxA0,A1是ysinx的图像在横坐标不变时纵坐标伸长（或缩短）到A倍而得到的. 其值域为A,A，A称为振幅.

ysinx0

注意应取哪五点？

1

2．用五点法在同一坐标系中作出ysinx,ysinx,ysin2x的图像.

2

列表：作图：

1

在纵坐标不变的情况下，ysinx和ysin2x的横坐标分别是ysinx的两倍或一半.

2

所以，ysinx0的图像为ysinx的图像在纵坐标不变时横坐标压缩（或伸长）到61

1

第六章三角函数

倍而得到的. 其周期为T

2



. 称为角频率.

ysinx

3．用五点法在同一坐标系中作ysinx列表：







,ysinx的图像. 34

作图：

这是先伸缩后平移，

也可以先平移后伸缩

ysinx







3

的图像由ysinx的图像上所有的点向左平移

个单位而得到;ysinx

43



的图像由ysinx的图像上所有的点向右平移个单位而得到.

4

所以，ysinx的图像由ysinx的图像向左（0）或向右（0）平移个单位.

三. 练习: 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图 1. ysin4x; 2. y2sin

1x; 3

3. ysinx





; 2

4. y4sinx

四. 布置作业 5．练习：





. 3

62

§6.3.2 函数yAsinx的图像和性质（2）

[教学目标]

知识与技能进一步掌握yAsinx的性质和图像. 过程与方法体会数学中的代换思想及化归的方法. 情感态度与价值观体验数学知识的内部联系. [教学重点]

yAsinx的性质和图像.

[教学难点]

yAsinx的性质和图像.

[教学过程] 一．复习

1. ysinx及ycosx的图像与性质; 2. 五点法作图;

3. 复习yAsinx的图像与性质 (1)函数y

ysin

x 2

1

sinx的图像与ysinx的图像有什么关系? 8

2

x的图像与ysinx的图像有什么关系? 3

2

ysin2x

3

(2)函数ysin



y2sin4x

3

(3)函数y5sinx二. 图像的变化作函数y3sin2x







的图像与ysinx的图像有什么关系? 6



y2sin3x

2

利用诱导公式将x前的系数化为正数







3

的简图

列表: 作图:

函数y3sin2x





3

的图像可以看做是用下面的方法得到的:

先把ysinx的图像上所有的点向左平移



个单位,得到ysinx的图像;再把

33

1

ysinx的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到

23



ysin2x的图像;再把ysin2x的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横

33

第六章三角函数

坐标不变),从而得到y3sin2x三. 变化过程概括:

函数yAsinx,A0,0的图像可以看做是用下面的方法得到:

1.把ysinx的图像上所有的点向左0或向右0平移个单位,得到ysinx;





3

的图像.

归结为求二次函数在闭区间上的值域问题

1

2.把ysinx的图像上各点的横坐标缩短1或伸长01到原来的倍(纵坐标



不变),得到ysinx;

3.把ysinx的图像上各点的纵坐标伸长A1或缩短0A1到原来的A倍(横坐标不变).

四. 练习巩固

555

怎样平移得到的？(ii)ysin 怎样平移得到的？x是(i)y3sin2226

(iii)ysinx 怎样平移得到的？

1.y3sin2. 把y3. 把y

11

sin3x__________成为ysin3x. （左移）

21224

11

sin3x__________成为ysin3x. （左移）

122422

4．函数ysinx的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，解析式为___________.

5．函数ysin2x的图像向右平移6．函数y2sin2x7．函数y2sin3x

五. 布置作业

ysin

x 2



个单位后，它的解析式是____________. 32

ysin2x

3







3

的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1

后，其解析式为___________. y2sin4x 23







4

的图像向左平移



个单位后，其解析式为______________. 4



y2sin3x

2

64

第六章三角函数

§6.3.3 函数yAsinx的图像和性质（3）

[教学目标]

知识与技能进一步掌握yAsinx的性质和图像. 过程与方法体会数学中的代换思想及化归的方法. 情感态度与价值观体验数学知识的内部联系. [教学重点]

yAsinx的性质和图像.

[教学难点]

yAsinx的性质和图像.

[教学过程] 一. 复习

1. 函数ysinx,ycosx的图像和性质; 2.辅助角公式asinbcosabsin

2

2

利用诱导公式将x前的系数化为正数

3. 函数yAsinx的变化过程. 二. 例题

例1 已知函数y2sin



2x，求(1)周期;(2)最值;(3)单调区间;(4)对称中心和对称3

轴;(5)五点法作大致图像. 解：y2sin2x (1)T; (2) 当2x







3





3

2k



2

xk



12

kZ时，ymax

2，

当2x



5

2kxkkZ时，ymin2; 3212



(3) 增区间: 2x



3511

2k,2kxk,k, 3221212

5

2k,2kxk,k kZ 3221212

减区间: 2x (4) 对称中心 2x 对称轴 2x



kk

,0kZ, kx，所以对称中心为

32626



3

k



2

x

k5k5

，对称轴为xkZ;

212212

(5) 五点法作图（略）

例2 求下列函数的定义域和值域：(1)y解：(1)x2k (2)cosx65

1

; (2)y12cosx.

1sinx



1,kZ,y; 22

15

x2k,2kkZ,y0,3.

233

第六章三角函数

例3 已知函数fxsinxsinx





,xR. 2

3

sin2(1) 求fx的最小正周期;(2)求fx的最大值和最小值;(3)若f,求的值.

4解:(1)fxsinxcosx2sinx(2) 当x







4

,T2;

时, fxmax2,



4

2k



2

,即x2k

4

3

当x2k,即x2k时,fxmin2kZ;

424



(3) fsincos

397

1sin2sin2. 41616

例4 已知函数fx3sin2x





22sinx,xR.

612

(1) 求函数fx的最小正周期;(2)求使得函数fx取得最大值的x的集合. 解:(1)fx3sin2x T;

(2) 当2x









cos2x12sin2x12sin2x1, 66663

,即xk



3

2k



2

55

时函数取得最大值,xx|xk,kZ.

1212

归结为求二次函数在闭区间上的值域问题

例5 求下列函数的最值并指出相应的x的值.

(1)y2sin2x3cos2x;(2)y5sinx2sinx; (3)ycosx2asinx1,x0,2.

2

2

解：(1)y5sinx3,xk



2

,ymax2,xk,ymin3kZ;

2

349

(2)ysinx3sinx10sinx,

24

2

x2k



2

kZ,ymax12,x2k

2



2

kZ,ymin6;

(3)ysin2x2asinxsinxaa2,

1a1时，fsinxmaxf12a1,fsinxminf12a1



3

即x,ymax2a1,x,ymin2a1;

22

2

21a0时，sinxa,ymaxa，sinx1x





,ymin2a1; 2

2

30a1时，sinxa,ymaxa，sinx1x



3

,ymin2a1; 2

4a1时，x

三. 布置作业





2

,ymax

3

2a1，x,ymin2a1.

2

66

第六章三角函数

§6.3 正切函数的性质与图像

[教学目标]

知识与技能掌握正切函数的性质与图像.

过程与方法用描点法作正切函数的图像，渗透数形结合的数学思想. 情感态度与价值观数形结合，体验数与形之间的转换. [教学重点]

正切函数的性质与图像. [教学难点]

正切函数的递增区间的表述. [教学过程]

一．正切函数的图像与性质 1．定义域

对于函数ytanx，其定义域为x|xk2．周期

由诱导公式tanxtanx知是正切函数的一个周期，可以证明正切函数的最小正周期为. 3．奇偶性

由诱导公式tanxtanx可知正切函数是奇函数. 4．用描点法作ytanx的图像





,kZ. 2

可由正切的定义得到

可适当多描几点，注意函数的弯曲方向



的图像列表：x 0 /6 /4 /3 2

y 0 0.577 1 1.73

先作出x0,

利用正切函数是一个奇函数作出x 利用周期性，作出ytanx,xk



,0的图像. 2



2

kZ的图像

5．正切函数的性质 (1)定义域:xk(4)单调性:在k(6)奇偶性:奇函数

思考：正切函数在定义域内是增函数是否正确？ 67



2

kZ (2)值域:yR (3)周期:T

,k







2



2

递增kZ (5)最值: 无

第六章三角函数二．例题与练习

例1 求下列函数的周期:

(1)ytan3x;(2)ytan3

2

x4;(3)ytanx0.

解：(1)fxtan3xtan3xtan3

x3f

x3 T3;

(2)fxtan

3x3

3224tanx4tanx

34f



x2223 T2

3

; (3)fxtanxtanxtanxf



x

T





. 一般的，ytanx0的周期为T

. 例2 求函数y

1

1tanx

的定义域.

解: xk

xk2,故定义域为x|xk,xk,k2tanx1Z

.

xk424

例3 求函数fxtan



6

x3的定义域、周期和单调区间.

解：定义域:x





63k2

x6k1kZ; 周期:T6 6

单调区间:k





2



6

x



3

k



2

6k5x6k1kZ.

例4 求下列函数的值域： (1)ytan

x



6x2,6

; (2)y

2tanx11tanx,x4,6;(3)ysec22tan1,3,3

解：(1)x

2,

6

x63,3y3,3; (2)y231tanx,tanx3

713331,3y2,2; 

(3)ytan22tan2,tan3,3y1,523

.

三．布置作业

根据正切函数的图像，求下列不等式的解集： (1)1tanx0;(2)tanx30.

要求记忆

两类题型：

yAtanx

,xD

yftanx

xD

68

第六章三角函数

二．反三角函数与最简三角方程（拓展内容） §6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数

[教学目标]

知识与技能理解反正弦函数的概念，知道它的基本性质和图像;能利用反正弦函数的值来表示角的大小. 过程与方法由反函数的概念与正弦函数的性质得到反正弦函数的性质，体现数学知识之间的联系. 情感态度与价值观进一步体会函数的研究方法和过程. [教学重点]

理解反正弦函数的意义，会用反正弦函数值表示角. [教学难点]

理解反正弦函数的意义. [教学过程]

一．反正弦函数的引入

1. 对于正弦函数ysinx,xR,对于定义域内的任意角x,都有唯一确定的正弦值y与之对应,

例如对于角x



6

,有ysin



6



1

与之对应. 2

1,角x是否唯一? x,,等无数个. 266

3．回忆ysinx的图像及反函数的条件，可知ysinx,xR不存在反函数.

2. 反过来,若确定正弦值sinx4．若x反函数.

5．定义 fxsinx,x二. 对于反正弦函数的理解 1. yarcsinx是ysinx,x



,，则ysinx是单调函数，x,y一一对应，故在x,上ysinx存在2222



,，其反函数f1xarcsinx，称为反正弦函数. 22



,的反函数; arcsin是反正弦的符号，是一个整体; 22



,;这个角的正弦值是x; 22

2. yarcsinx表示一个以弧度制度量的角;这个角的范围是 例如对于x

111

,yarcsin表示在,内正弦值为的角,有且只有一个,为,即222622

arcsin

1; 26

3. 当arcsin0时,表示一个锐角(或直角);当arcsinx0时表示一个负锐角(或负直角); 4. arcsin

111

sinarcsinsin,一般有sinarcsinxx,x1,1. 26262

三．反正弦函数的图像

反函数的图像与原函数的图像关于yx对称，即x改y，y改x

69

第六章三角函数

四．根据解析式与图像研究反正弦函数的性质



ysinx,x,

22

y1,1

奇函数（过原点）

yarcsinx,x1,1

数形结合，从图像上看反正弦函数的性质

1．值域 2．奇偶性



y,

22

奇函数（过原点）,即

arcsinxarcsinx,x1,1

3．单调性 4．周期性 5．1x1 6．

增函数非周期函数

增函数非周期函数



2

arcsinx



2

sinarcsinxx



2

x



2

1 ffxxxA

1sinx1arcsinsinxx

f1fxxxD

三．例题与练习例1 求值： (1)arcsin

32

;(2)arcsin1;(3)arcsin 23342

注意x的不同范围

(4)arcsin0.5



6

;(5)arcsin00;(6)arcsin0.7246.05;



5

(7)arcsinsin;(8)arcsinsinarcsinsin;

99666

(8)arcsinsin3.49

sin3.49sin1.49sin0.49sin0.49

arcsinsin3.49arcsinsin0.49arcsinsin0.490.49.

例2 用反正弦函数表示下列各式的x:

3

(1)sinx,(i)x,(ii)x0,2

522

333

orxarcsin (i)xarcsin;(ii)xarcsin;

555

1

(2)sinx, (i)x,(ii)x0,2

422

1111

(i)xarcsinarcsin;(ii)xarcsinorx2arcsin;

4444

3

(3)sinx, (i)x,(ii)x0,2

322

333

orxarcsin (i)xarcsin;(ii)xarcsin.

333

四．布置作业

70

第六章三角函数

§6.4.2 反三角函数(2)——反余弦、反正切函数

[教学目标]

知识与技能理解反余弦、反正切函数的概念，知道它的基本性质和图像;能利用反余弦、反正切函数的值来表示角的大小.

过程与方法由反函数的概念与余弦、正切函数的性质得到反正弦函数的性质，体现数学知识之间的联系. 情感态度与价值观进一步体会函数的研究方法和过程. [教学重点]

理解反余弦、反正切函数的意义，会用反余弦、反正切函数值表示角. [教学难点]

理解反余弦、反正切函数的意义. [教学过程]

一．复习反正弦函数的图像与性质二．反余弦函数的定义

1．余弦函数ycosx,xR在定义域上不存在反函数; 2. 若取x0,,则ycosx为单调函数,存在反函数;

3. 定义:函数ycosx,x0,的反函数为yarccosx,x1,1. 三. 对反余弦函数的理解

1. yarccosx表示一个以弧度制度量的角;这个角的范围是0,;这个角的余弦值是x;

五．反余弦函数的性质

(1)定义域x1,1;(2)值域y0,;(3)单调性:减函数; (4)奇偶性:非奇非偶;yarccosx(5)arccos1;arccos0

71

111

例如对于x,yarccos表示在0,内余弦值为的角,有且只有一个,为,即

2223

1

arccos;

23

3. 当arccos0时,表示一个锐角(或直角);当arccosx0时表示一个钝角(或平角); 4. arccos

111

cosarccoscos,一般有cosarccosxx,x1,1. 23232

四．反余弦函数的图像



2

、y



2

arccosx是奇函数;

2

;arccos10;arccosx0

(6) 当1x0时，arccosx为钝角；当0x1时，arccosx为锐角;

第六章三角函数

(7)arccosxarccosx;

 (8)cosarccosxx,x1,1;arccoscosxx,x

2,

2. 六．反正切函数的定义、图像和性质 1．定义函数ytanx,x2,

2

的反函数为yarctanx,xR 2. 理解:

(1)yarctanx表示一个以弧度制度量的角;这个角的范围是 

2,

2;这个角的正切值是x; 例如对于x1,yarctan1表示在

 2,

2

内正切值为1的角,有且只有一个,为4,即

arctan1



4

;

(2)当arctan0时,表示一个锐角;当arctanx0时表示一个负锐角; (3)arctan1

4

tanarctan1tan



4

1,一般有tanarctanxx.

2．图像 3．性质

(1)定义域xR;(2)值域y 

2,

2

;(3)单调性:增函数;(4)奇偶性:奇函数 (5)tanarctanxx,xR;arctantanxx,x,

22

; 七．例题与练习例1 求下列各式的值:

方法: (1)cos2一令; 二则; arccos2

3

3; 三范围. (2)sin2

2cos25 arccos 设arccos且为钝角sin33 33

(3)tanarccos2

设arccos2cos2且为钝角tan103

3 35(4)arccoscos

3

1

arccos23.

例2 用反三角函数表示下列各角: (1)tanx3 (i)x3

2,2,xarctan3 (ii)x2,2



,xarctan3; (2)tanx

114 (i) x2,2,xarctan4

(ii)x

32,



, x2arctan14;

(3)cosx13 x0,,xarccos1

3

. 八. 布置作业

72

第六章三角函数

§6.4.3 反三角函数(3)——反三角函数习题课

[教学目标]

知识与技能进一步掌握反三角函数的图像与性质. 过程与方法渗透数性结合的数学思想方法.

情感态度与价值观进一步体会函数的研究方法和过程. [教学重点]

反三角函数的综合应用. [教学难点]

反三角函数的综合应用. [教学过程]

一．反三角函数的图像与性质复习

yarcsinx

yarccosx

yarctanx

图像

定义域

x1,1 x1,1 x,

值域奇偶性单调性

y,

22

奇函数增函数

y0,

非奇非偶函数

减函数

y,

22

奇函数增函数

arcsinsinxx

x,22

arccoscosxxx0,cosarccosxxx1,1

arctantanxx

x,22

sinarcsinxxx1,1

tanarctanxxx,

arcsinxarcsinx arccosxarccosx arctanxarctanx

二．例题与练习

22

例1 证明：arcsinarccos.

332

22

解：设arcsin0,，arccos0,，

3322

cos0，且0,，

一般的，有arcsinarccos

2

.



2

；arctanxarccotx



2

.

例2 已知sinx,x0,2，分别用反正弦、反余弦和反正切来表示x. 解：xarcsin73

4

7

44orx2arcsin 77

第六章三角函数 xarccos337orx2arccos337

xarctan

433

orx2arctan

433

.

例3 计算：sin2arctan14

解：设arctan

14，则0,

2

，tan14sin117,cos

111， sin2arctan

18

4

2sincos17

. 例4 解不等式：arccos1xarccosx.

11解：原不等式

x1

1x10x1.



1xx

2例5 计算下列各值：（1）sin

3arccos13

223

6；（2）cos4arcsin237210；

（3）cos

2arcsin314



8

. 例6 求下列函数的定义域和值域： (1)y3arcsin2x1;(2)y



6

arcsin2x1;(3)y3arcsinx21.

解：(1)12x110x1;arcsin2x12,2y33

2,2

; (2)02x11x1,1

;y

26,23

; (3)0x211x2,131,2

,y

2,0



. 例7 求下列函数的定义域和值域：

(1)y2arccos3x4 x5

,13

,y2,0; (2)y233arccos12x x0,1,y211

3,3

; (3)y



2arccos7x3 x42

7,7,y2

,2; (4)y1arccosx2 x1,3,y1

,

;

(5)yarcsinx21

x0,y

2

; (6)yarccosx21

x2,2

,y0,;

(7)yarctan3x2 x3,3,y0,





3

.

74

第六章三角函数

§6.5.1 最简三角方程（1）——最简三角方程的通解

[教学目标]

知识与技能知道三角方程的概念；掌握最简三角方程的解集.

过程与方法通过归纳总结出最简三角方程的通解，体会由特殊到一般的思想方法.

情感态度与价值观通过积极参与数学学习和问题解决的活动，逐步增强主体意识和合作意识. [教学重点]

最简三角方程的通解. [教学难点]

方程sinxa的通解. [教学过程]

一．复习反三角函数 1．sinxa,x

2,

2

,a1,1,xarcsina 2．cosxa,x0,,a1,1,xarccosa 3．tanxa,x



2,

2,aR,xarctana 二．最简三角方程的概念及其通解 1．最简三角方程的概念

形如sinxa,cosxa,tanxa的三角方程称为最简三角方程. 2．方程sinxa的通解方程sinx

12,x,的解为x5

6orx

6

若xR，则解为x2k



6

orx2k

562k1

6

xk1

k



6

kZ.

又如方程sinx

22的解为xk1kk

4

k14kZ.

一般的，形如sinxa,a1的方程的解集为

x|xk1k

arcsina,kZ

3．方程cosxa的解集方程cosx

12，x0,2，则x24

3orx3

若xR，则x2k

23orx2k432k12

3kZ x2k

2

3

kZ. 一般的，形如cosxa,a1的方程的解集为x|x2karccosa,kZ. 4．几个特殊值的解集 sinx1x2k

2

；sinx1x2k

32

； 75

或者利用单位圆

第六章三角函数

cosx1x2k；cosx1x2k kZ. 5．方程tanxa的解集方程tanx

3，x0,2，则x



3

orx

433

若xR，则x2k

3

orx2k1



3

kZ

xk



3

kZ.

一般的，方程tanxa,aR的解集为x|xkarctana,kZ. 三．例题与练习例1 求下列方程的解： (1)sin3x

223xk1kkk

4

x3112; (2)3cos2x2cos2x

232x2karccos2

3

xk12

2arccos3

kZ;

(3)4tan

3x





62tan

11

3x6

23x6karctan2 xk313arctan12

18

kZ;

(4)2sin5x1530,x0,90

xk361k

123kZ x0,90x15,27,87

.

四．布置作业

若求解集则应用集合形式表示

注意角度单位的统一

76

第六章三角函数

§6.5.2 最简三角方程（2）——简单的三角方程

[教学目标]

知识与技能掌握同名方程、二次方程、齐次方程及其他的简单的三角方程的解法. 过程与方法通过归纳总结简单的三角方程的解法.

情感态度与价值观通过积极参与数学学习和问题解决的活动，逐步增强主体意识和合作意识. [教学重点]

二次方程、齐次方程的解法. [教学难点]

可化为二次方程、齐次方程的三角方程的解法. [教学过程]

一．复习回顾最简三角方程的通解

1．sinxa,a1x|xk1k

arcsina,kZ

2．cosxa,a1x|x2karccosa,kZ 3．tanxa,aRx|xkarctana,kZ 4．sinx1x2k



2

；sinx1x2k

32

； cosx1x2k；cosx1x2k kZ 二．几类简单的三角方程 1．同名三角方程

(1)sinxsin,则x2korx2k，即xk1k

,kZ

两角正弦相等，则两角相等或互补（相差整数圈）

例1 sin5xsin3x5x3x2kor5x3x2kxkorx2k1

8

kZ.

(2)cosxcos,则x2korx2k,即x2k,kZ

两角余弦相等，则两角相等或相反（相差整数圈）例2 cos3xcos2x3x2x2kor3x2k2xx2k

5

orx2k x2k

5

kZ.

(3)tanxtan,则xk,kZ，两角正切相等，则两角相差半整数圈例3 tan4xtan3x4xk3xxkkZ.

2．关于某一三角函数的二次方程例4 求下列方程的解集：

(1)sin2

x4cosx30cos2

x4cosx2cosx22orcosx22(舍去)



x|x2karccos22

,kZ

;

77

用语言叙述解集，便于理解记忆

注意增根

cosx1应舍去

第六章三角函数

1 (2)cos2xcosx102cos2xcosx0cosx0orcosx

2

xxk 2orx2k3,kZ

;

(3)2sinxsin2xcosx102sinx1cosx1cosx0cosx1orsinx

1

2

xx2korxkk

 16,kZ;



(4)3cos2x4cos2

x3sinx

312sin2x41sin2x3sinx2sin2x3sinx10sinx1orsinx

1

2

xx2korxk

 2k16,kZ

.

3．齐次方程的解

把asinxbcosx0,asin2xbsinxcosxccos2

x0这样的方程称为齐次方程，可在两边

分别除以cosx和cos2

x化为含有tanx的一元一次或一元二次方程.

例5 求下列方程的解集：

(1)3sinx4cosx0 cosx0tanx

4 3xxkarctan43,kZ

; (2)sinx5sinxcosx6cos2

x0

cos2x0tan2x5tanx60tanx2ortanx3

xxkarctan2orxkarctan3,kZ;

(3)9sin2x15sin2x25cos2

x25

9sin2x30sinxcosx25cos2x25sin2x25cos2

x

16sin2

x30sinxcosx0sinx0ortanx15

8

 xxkorxkarctan158,kZ

;

(4)6sin2x4sin2x16sin2x8sinxcosxsin2xcos2

x 7sin2x8sinxcosxcos2x0,cos2

x0

7tan2x8tanx10tanx1ortanx1 7

xxk



4orxkarctan17,kZ





; (5)sin2xcos2

xcos2x1

2sinxcosxcos2x2sin2x0,cos2x0

2tan2

x2tanx10tanx13

2

13 xxkarctan,kZ2.



78

4．引入辅助角解三角方程

形如asinxbcosxc的三角方程可化为sinxca2b2

求解.

例6 求下列方程的解集：

(1)3sinxcosx1sin

x



612x6k1k6 xxkk

61

6,kZ

; (2)cosxsinx1sin



x242x4k1k4

xxk





4

1

k



4,kZ

; (3)3sinx4cosx5sinx1,其中cos35,sin45tan4

3

sin

xarctan44

31xx2k2arctan3,kZ

; (4)4sin

x23cosx22sinx23

35

,arctan4

sinx

2

arctan33xk33452k1arcsin5arctan4

xx2k1k

2arcsin3352arctan4,kZ

.

79

第六章三角函数

注意与齐次方程的区别

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b2dd391a40323968011ca300a6c30c225901f006.html

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