精品文档 巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数 河南平顶山市第三高级中学 金小欣 467000 一、 梅涅劳斯（Menelaus）定理简介： 如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点，则： AMBNCK1。 MBNCKA 证明： 过顶点B作AC的平行线与截线交于E， 则有： A E M C B N K AMAKBNBE ， ， MBBENCCK AMBNCKAKBECK∴ 1 MBNCKABECKKA 对该定理的几点说明：①证明的方法：过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交，利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质，将其中的两个比例式等价转化。②定理的实质：三个比例式的乘积等于1，每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点；其结构特征为：顶点分点 ，呈现“首尾相接”；整体看，从某一个顶点出发，最后又回到该顶分点顶点点。③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。 二、 梅涅劳斯定理的一个应用例子 题目：在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用 a，b表示向量OP. 先给出高中常规解法（待定系数法）如下： 解法一：∵ B、P、M共线∴ 记BP=sPM O N P A B M 1s1s1sOBOMOBOAba--------① ∴ OP1s1s1s3(1s)1s3(1s)1tab--------② 同理，记APtPN ，得： OP=1t4(1t)s19s1t3(1s)322ab ∵ a,b不共线∴ 由①、②得解之得：∴ OP81t1111t31s4(1t)上述解法的基本思想是：先设法求出点P分AN、BM的比，理论依据：一个是教材例题的结论（可作为定理直接使用），一个就是平面向量基本定理。利用该定理中两个系数的唯一性，得到关于s，t的方程。 由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系，故尝试本题能否用这两精品文档 精品文档 个定理来解决。 解法二： ΔOAN被直线MPB所截，由梅涅劳斯定理，得： OMAPNB1AP31 即1 ， MAPNBO2PN4AP8∴ ∴ PN33838132OPOAONOAOBOAOB1111111141111 或者，ΔOBM被直线NPA所截，得： O N P B M ONBPMA1BP2BP91,即：1,, NBPMAO3PM3PM2 A 2929132∴OPOBOMOBOAOAOB 1111111131111可见，只要选对了被截的三角形，用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了，非常便利。 三、 用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结 以上例为例，经认真思考和实验，其规律性体现为：欲求P分AN之比，则考察PAN 为一边的三角形被直线所截。若去掉线段AB，则截线显然为 MPB 四、 变式练习 分析：由“塞瓦定理”得： （1） 题目条件不变，若延长OP与AB交于点D，求向量PD与a、b的线性关系。 OMADBN1 ，即： MADBNOO P 1AD3AD21 ,∴ ,下面只要求出P分OD的比即可。2DB1DB3M 由三之要点，考察POD所在ΔOAD被直线MPB所截，由梅氏定理， 得： OMABDP15DP1 ，即：1 ， MABDPO23PO DP6 . ∴PO566321812从而，PDOD(OAOB)OAOB 1111555555 （2）题目条件不变，求AP用a、b的表示式。 28OBOA ） （ 答案：AP1111精品文档 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/c253091940323968011ca300a6c30c225901f09f.html