高中数学竞赛辅导试题指数函数与对数函数
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第3节 指数函数、对数函数 x．指数函数y=a与对数函数y=logax,(a0,a1)是互为反函数即abxlogabx它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。当a>1时，两个函数在定义域内都递增；当0时，两个函数在定义域内都递减。 [举例1]光线透过一块玻璃板，其强度要减弱
11
，要使光线的强度减弱到原来的以下，至103
9
a，透过n块玻璃板后其10
少需要这样的玻璃板 块。（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771） 解析：记光线原来的强度为a，透过一块玻璃板后其强度变为
强度变为：(
lg39n9191
≈)a，则()na<a,即()n<,n(2lg3-1)<-lg3n
12lg310103103
10.4,(注意：2lg3-1<0),∴n=11.
2
1，则a的取值范围是（ ） 322
（A）（0，）（1，+） （B）（，+）
33222
（C）（,1） （D）（0，）（，+）
333
222
解析：若a>1，则∴a>1；若0则>a, ∴0；综上，选A。（本题中视1为
333
[举例2] loga
logaa是化“数”为“对数”的通法）。
[巩固] 若30.618,ak,k1，kZ，则k=__________。
a
[提高] 方程x+lgx=3,x+10=3的解分别为x1,x2,则x1+x2=____________
3．关注对数函数的定义域，特别是在解对数不等式（留意对数变形的等价性）和研究对数函数的单调性（函数有意义才谈得上增减）时。 [举例1]函数f(x)的图像与函数g(x)=(
x
1x2
)的图像关于直线y=x对称，则f(2x-x)的单调2
减区间为（ ） （A）（0，1） （B）[1，+] （C）（-，1） （D）[1，2]
解析：f(x)与g(x)互为反函数，即f(x)=log1x, f(2x-x)= log1(2xx),记h(x)=2x-x,
2
2
2
22
则h(x)递增（“外层”递减）且h(x)>0(真数)，∴x∈(0,1],故选A。（在函数定义域内区间的“开”“闭”不影响函数的单调性，所以求函数单调区间时一般用开区间比较“稳妥”）。 [举例2]已知命题p：
2
x；命题q：log2x2>1；则命题p是命题q的： （ ） x
A．充分不必要条件，B．必要不充分条件， C．充要条件 D．既不必要也不充分条件
x222
x∈(2,0)(2,)， 0，解析：命题p：x，移项通分得：“序轴标根”得：
xx
命题q：log2x>1等价于：x2>2,即x∈(,2)(2,)（注意：不等式log2x>1与不等式：2log2x>1不等价，log2x>1等价于2log2|x|>1）；从集合包含关系更容易看清两个命题的逻辑关系，选D。
[巩固]已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是 。
4．函数y=a的值域为（0，+）。特别关注函数y=a的值与1的大小，函数y=logax的值
x
x
22
2
与0的大小。 [举例1] 函数y=
1
的值域是（ ） x
21
（A）（-,1） （B）（-,0）（0，+） （C）（-1，+） （D）（-，-1）（0，+） 解析：思路一：“逆求”：2
x
1y
0得：y>0或y<-1，选D。思路二：2x11，y
x
“取倒数”要特别注意不等式两边同号，若-1<21<0,则
1x
<-1；若21>0,则x
21
1
>0,综上，选D。 2x1
[举例2] .若logm9n9<0,那么m,n满足的条件是（ ）
（A）m>n>1 （B）n>m>1 （C）0 （D）0 解析：logm9与logn9底数不同，比较大小不甚方便，注意到logm9=
1
，则由
log9m
logm9n9<0
11
0log9n9m<00选C。
log9mlog9n
x1
[巩固] 已知g(x)=logax1(a>0且a1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a
是（ ）
（A）在（-，0）上的增函数 （B）在（-，0）上的减函数 （C）在（-，-1）上的增函数 （D）在（-，-1）上的减函数
5．函数y=logag(x),(a0,a1)的值域主要取决于g(x)。如：0≤4,则log1g(x)
2
∈[-2，+），其中0只是保证对数值存在的，并不限制对数值的范围。若g(x)无最（极）大值（即上无界），则函数y=logag(x),(a0,a1)的值域为R g(x)min≤0（特
别地：当g(x)是二次项系数为正的二次函数时g(x)min≤0⊿≥0）； 函数y=logag(x)有最值 g(x)min≥0。
[举例] 函数y=log1(2x2-2x+1)的值域为 。
2
解析：2x2-2x+1=2（x-
1211
）+≥, log1(2x2-2x+1)≤1,∴函数值域为（-，1]。 2222
2
[巩固] 设函数f(x)=lg(x+ax-a-1),给出下列命题:①f(x)有最小值;②当a=0时,f(x)值域为R;③当a>0时,在[2,+∞)上有反函数;④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是a≥-4.其中正确命题的序号是_____________
简答
2、 [巩固]-1，[提高]在同一坐标系内画函数y=3-x,y=lgx,y=10x的图象，交点为A、B，A、B关于直线y=x对称，得x1=3-x2；3、 [巩固] g(x)= x2－ax＋3a在区间[2，＋∞)上递增且g(x)= x2－ax＋3a>0在区间[2，＋∞)上恒成立，即a≤4且g(2)>0得-4<a≤4； 4、 [巩固]C；5、 [巩固] ②③
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f2a13d4a57270722192e453610661ed9ac515550.html