正弦、余弦函数图象的对称性 (武都区两水中学,甘肃,武都 746000) 剡海龙 在新课标教材中,对正弦函数ysinx和余弦函数ycosx在定义域上的性质,只研究了定义域、值域(含最值)、周期性、单调性及奇偶性(隐藏着对称性),而没有单独讨论它们的对称性,事实上这些函数具有下列对称性。 性质正弦函数ysinx,xR是奇函数,其图象关于原点对称;正弦曲线是轴对称图形也是中心对称图形,并且有无穷多条对称轴和无穷多个对称中心,分别为直线xkk2xR是偶函数,其图(kZ)和点(k,0),(kZ);余弦函数ycosx,象关于y轴对称;余弦曲线的对称轴方程和对称中心坐标分别为直线xkk和点(k2,0),k(Z。) 掌握了它们的对称性后,我们便可将其对称性与值域(含最值)、单调性、周期性融为一体,显然,它们的值域为f(xk)与f(xk1)之间的一切实数组成的集合,最大、最小值由f(xk)与f(xk1)相应确定,一个单调增或单调减区间为[xk,xk1],半周期T2xk1xk(kN),可见若能直接运用对称轴方程解题,则显得十分简明而又准确可靠。 *【例1】 函数ysin(2x252)的图象的一条对称轴方程为() A. x B. x4 C. x852 D. x54 52k方法一:运用上述性质,ysin(2xxkk2,(kZ),取k1,得x)的对称轴方程为2x2,即2,对于B、C、D都无整数k对应,故选A。 方法二:可作函数图象草图进行判断,不过速度稍慢。 5)1,知直线x方法三:将x代入函数式得ysin(经过函222数图象的最低点,它是函数图象的一条对称轴。 【例2】(2009·全国Ⅰ理)如果函数y3cos(2x)的图象关于点(那么的最小值为() A. x643,0)中心对称, B. x4 C. x3 D. x432 43)0,即解:由y3cos(x2的)图象关于点(,0)中心对称知,f(3cos(83)0,83k2(kZ),k283(kZ), 的最小值为min22836,从而选A。 【例3】在下列选项中函数ysin(xA. [2,] B.[0,4)的单调增区间是() 4] C. [,0] D.[4,2] 分析:函数ysin(x欲求ysin(x44)是一个复合函数即ysin[(x)],(x)x4, 因(x)x)的单调增区间,4在实数集上恒递增,故应求使y随(x)递增而递增的区间。 方法一:因为(x)x4在实数集上恒递增,又ysinx在[2k2x2,2k2](kZ)上是递增的,故令2k42k342,2k434x2k4, 函数ysin(x[114,74]、[344,)的递增区间是[2k,2k],取k1,0,1,分别得区间4]、[54,94],对照各选项,可知应选B。 24435,]或[,],根据照各选项,分别取k1,0,1,得一个递增或递减区间分别为[4444方法二:函数ysin(x4)的对称轴方程为,xkkk(kZ)对选项思考即知应选B。 三角函数图象的对称性质是一种重要的性质,涉及这方面内容的题目,在高考试题中经常考察,而且常考常新。 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/f6445f71bd23482fb4daa58da0116c175f0e1e96.html