函数的周期性与对称性总结

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一:有关周期性的讨论

在已知条件faxfbx或

fxafxb中,

1 等式两端的两自变量部分相加得常数,如axbxab,说明f(x)的图像具

有对称性,其对称轴为x

ab

; 2

2等式两端的两自变量部分相减得常数,如xaxbab,说明 fx的图像具有

周期性,其周期T=a+b;

设a为非零常数,若对于f(x)定义域内的任意x恒有下列条件之一成立

周期性规律对称性规律

1f(xa)f(xa) T2a 1f(ax)f(ax) xa

ab

2ab

3f(xa)f(x) T2a 3 f(ax)f(bx) x

2

2f(x)f(xa) Ta 2f(ax)f(bx) x4f(xa)

1ab T2a 4 f(ax)f(bx) 点(,0)中心 f(x)21

T2a 5 f(ax)f(ax) 点(a,0)为对称中心 f(x)

5f(xa)

6f(xa)

f(x)1

T2a

f(x)1

1f(x)

T2a

1f(x)

1f(x)

T4a

1f(x)

7 f(xa)

8 f(xa)

9 f(xa)

1f(x)

T4a

1f(x)

10 f(x)f(xa)f(xa), a0 T6a

11 若函数f(x)同时关于直线xa, xb对称则函数f(x)的周期T2ba 12 若函数f(x)同时关于点(a,0), (b,0)对称,则函数f(x)的周期T2ba

13 若函数f(x)同时关于直线xa 对称,又关于点(b,0)对称(b0)则函数f(x)的周期

T4ba

14 若偶函数y=fx的图像关于直线x=a对称,则fx为周期函数且T=2a 15 若奇函数y=fx的图像关于直线x=a对称,则fx为周期函数且T=4a 16 若奇函数y=fx满足fx+T=fxx∈R,T≠0,则f

T

=0. ⒈ 若yf(2x)的图象关于 2

两类易混淆的函数问题：对称性与周期性

例1. 已知函数y= fxx∈R满足f5+x= f5－x,问：y= fx是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形

例2. 已知函数y= fxx∈R满足fx+5= fx－5,问：y= fx是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形

定理1：如果函数y= fxx∈R满足f(ax)f(ax),那么y= fx的图像关于直线xa对称;

证明：设点Px0，y0是y= fx的图像上任一点,点P关于直线x=a的对称点为Q,易知,点Q的坐标为2ax0，y0;

因为点Px0，y0在y= fx的图像上,所以f(x0)y0

于是f2ax0faax0faax0fx0y0 所以点Q2ax0，y0也在y= fx的图像上; 由P点的任意性知,y= fx的图像关于直线x=a对称;

定理2：如果函数y= fxx∈R满足fa+x= fb－x,那么y= fx的图像关于直线x称;











ab

的对2

定理3：如果函数y= fxx∈R满足fx+a= fx－a,那么y= fx是以2a为周期的周期函数; 证明：令xax',则xx'a，xax'2a 代入已知条件fxafxa 得：fx'2afx'

根据周期函数的定义知,y= fx是以2a为周期的周期函数;

定理4：如果函数y= fxx∈R满足fxafxb,那么y= fx是以ab为周期的周期函数;

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3043bea9142ded630b1c59eef8c75fbfc77d9496.html

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