整理范本 第四讲 我们在三年级已经学习了能被 2, 3, 5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解 能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除 。例如，48能被 16整除，16能被8整除，那么48 一定能被8整除。 性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除 。 例如，21与15都能被3整除，那么21 + 15及21-15都能被3整除。 性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的 乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9X 7 = 63整除。 禾U用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除 性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： (1) 一个数的个位数字如果是 0， 2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被 2整除。 (2) 一个数的个位数字如果是 0或5，那么这个数就能被 5整除。 (3) 一个数各个数位上的数字之和如果能被 3整除，那么这个数就能被 3整除。 (4) 一个数的末两位数如果能被 4 (或25)整除，那么这个数就能被 4 (或25)整除。 (5) 一个数的末三位数如果能被 8 (或125)整除，那么这个数就能被 8 (或125)整除。 (6) 一个数各个数位上的数字之和如果能被 9整除，那么这个数就能被 9整除。 其中(1)( 2)( 3)是三年级学过的内容，(4)( 5)( 6)是本讲要学习的内容。 因为100能被4 (或25)整除，所以由整除的性质 1知，整百的数都能被 4 (或25)整除。 因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质 2知，只要 这个数的后两位数能被 4 (或25)整除，这个数就能被 4 (或25)整除。这就证明了( 4)。 类似地可以证明(5 )。 (6 )的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837 = 800+ 30+ 7 =8X 100+ 3X 10 + 7 =8X( 99+1)+ 3X( 9+ 1)+ 7 =8X 99 + 8 +3 X 9+ 3 + 7 =(8X 99+ 3X 9) + ( 8+ 3 + 7)。 因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质 1和性质2知，(8x99 + 3x9)能被9整除。 再根据整除的性质2,由(8+3+ 7)能被9整除，就能判断837能被9整除。 利用(4)( 5)( 6)还可以求出一个数除以 4, 8，9的余数： (4 ') 一个数除以4的余数，与它的末两位除以 4的余数相同。 (57) 一个数除以8的余数，与它的末三位除以 8的余数相同。 (6，) —个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以 9的余数相同。 例1在下面的数中，哪些能被 4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756, 8865，3728.8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064; 能被8整除的数有3728，8064; 能被9整除的数有234，8865，8064。 例2在四位数56口2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被 9, 8, 4整除？ 解：如果56□ 2能被9整除，那么 5+ 6 + □+ 2= 13+口 应能被9整除，所以当十位数是 5,即四位数是5652时能被9整除； 如果56□ 2能被8整除，那么6口 2应能被8整除，所以当十位数是 3或7,即四位数是5632 或5672时能被8整除； 如果56□ 2能被4整除，那么口 2应能被4整除，所以当十位数是 1 , 3, 5, 7, 9,即四位数 是 5612, 5632, 5652, 5672, 5692 时能被 4 整除。 到现在为止，我们已经学过能被 2, 3, 5, 4, 8, 9整除的数的特征。根据整除的性质 3,我 们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被 6整除，因为6 = 2X 3, 2与3互 质，所以如果这个数既能被 2整除又能被3整除，那么根据整除的性质 3，可判定这个数能被6整 除。同理，判断一个数能否被 12整除，只需判断这个数能否同时被 3和4整除；判断一个数能否 被72整除，只需判断这个数能否同时被 8和9整除；如此等等。 例3从0, 2 , 5, 7四个数字中任选三个，组成能同时被 2, 5, 3整除的数，并将这些数从小到大 进行排列。 解：因为组成的三位数能同时被 2, 5整除，所以个位数字为 0。根据三位数能被 3整除的特征， 数字和2+ 7 + 0与5+7+ 0都能被3整除，因此所求的这些数为 270 , 570, 720, 750。 例4五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？ 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/f792b97b551252d380eb6294dd88d0d233d43cdd.html