对于容斥问题,解题关键做到不重不漏,各个集合相加,理清各集合间的关系,扣掉重复补上遗漏的。用于理解的主要方法是画文氏图,但考试中应尽量避免画图,这样速度偏慢些。
【例1】:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查,有89人看过甲片,有47人看过乙片,有63人看过丙片,既看过甲、乙片为30人,既看过乙、丙片为31人,既看过甲、丙片为32人,其中有24人三部电影都看过,问多少人一部也没有看过呢?
【解析】:既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分,以M、N、W为既看过甲、乙片的人,N既看过乙、丙片的人,既看过甲、丙片的人,X为三部都看过的人数,这里面W、N、X都是有包含三者这个区域,根据把重复数的次数变为1次,或者说把重叠的面积变为一层,做到不重不漏的原则,则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y,135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y,Y=5人。
结论:三者容斥问题,画图之后可知,三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况,当将三个集合相加的时候,2层和3层区域分别多计算一次和两次,故若想求全集,需要将重叠区域减掉,故三者容斥问题的公式为:A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
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