高中数学 等差数列的前n项和 一、考点突破 知识点 课标要求 1. 掌握等差数列前n项和的等差数列的前n项和 公式 ,并能运用公式解决一些简单问题； 2. 体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系 选择题 填空题 等差数列前n项和还要注意两点：公式推导的方法和函数的思想 题型 说明 二、重难点提示 重点：运用等差数列前n项和的公式解决一些问题。 难点：等差数列前n项和公式与二次函数间的关系。 考点一：等差数列前n项和公式及推导 〔1〕等差数列的前n项和公式 Sn＝n(a1an)n(n1)＝na1＋d 22〔2〕 等差数列的前n项和公式的推导： ∵Sn＝a1＋a2＋…＋an , Sn＝an＋an－1＋…＋a1 , ∴2Sn＝〔a1＋an〕＋〔a2＋an－1〕＋…＋〔an＋a1〕 , ＝n〔a1＋an〕 , ∴Sn＝1n〔a1＋an〕 2这种推导方法称为倒序求和法。 【核心突破】 〔1〕由等差数列的前n项和公式及通项公式可知 ,假设a1、d、n、an、Sn中三个便可求出其余两个 ,即“知三求二〞。“知三求二〞的实质是方程思想 ,即建立方程组求解。 〔2〕在运用等差数列的前n项和公式来求和时 ,一般地 ,假设首项a1及末项an用公式Sn＝n(a1an)n(n1)较方便；假设首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好。 22n(a1an)〔3〕在运用公式Sn＝求和时 ,要注意性质“设m、n、p、q均为正整数 ,2〔4〕在求和时除了直接用等差数列的前n项和公式求和〔即数列是等差数列〕外 ,还假设m＋n＝p＋q ,那么am＋an＝ap＋aq〞的运用。 要注意创设运用公式条件〔即将非等差数列问题转化为等差数列问题〕 ,以利于求和。 考点二：等差数列前n项和的性质 数列{an}为等差数列 ,前n项和为Sn ,那么有如下性质： 〔1〕Sm ,S2m－Sm ,S3m－S2m ,… ,也是等差数列 ,公差为m2d。 〔2〕假设项数为偶数2n〔n∈N*〕 ,那么S偶－S奇＝nd ,S奇S偶＝an。 an1＝〔3〕假设项数为奇数2n＋1〔n∈N*〕 ,那么S奇－S偶＝an＋1 ,S奇S偶n1。 n第 1 页 〔4〕假设{an}、{bn}均为等差数列 ,前n项和分别为Sn和Tn ,那么amS2m1。 bmT2m1考点三：等差数列前n项和的最值 解决等差数列前n项和的最值的根本思想是利用前n项和公式与函数的关系解决问题 ,即： 〔1〕二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求前n项和的最值 ,但要注意的是：nN*。 〔2〕图象法：利用二次函数的对称性来确定n的值 ,使Sn取最值。 〔3〕通项法：当a10,d0时 ,n为使an0成立的最大的自然数时 ,Sn最大。这是因为当an0时 ,SnSn1 ,即递增；当an0时 ,SnSn1 ,即递减。 类似的 ,当a10,d0时 ,那么n为使an0成立的最大的自然数时 ,Sn最小。 例题1〔等差数列前n项和公式的应用〕 在等差数列{an}中 ,前n项和为Sn。 〔1〕S8＝48 ,S12＝168 ,求a1和d； 〔2〕a6＝10 ,S5＝5 ,求a8和S8； 〔3〕a3＋a15＝40 ,求S17。 思路分析：〔1〕利用前n项和公式 ,建立关于a1、d的方程组 ,解方程组求a1、d； 〔2〕根据前n项和公式求a1、d ,再求a8和S8； 〔3〕先根据等差数列的性质求a1＋a17 ,再求S17。 答案：〔1〕由等差数列的前n项和公式 , 8a128d48,a18,得 解得 12a66d168,d4;1〔2〕∵a6＝S6－S5 ,∴S6＝S5＋a6＝15 , a1a6×6＝15 ,即3〔a1＋10〕＝15 , 2aa1∴a1＝－5 ,∴d＝6＝3 , 5aa8∴a8＝a6＋2d＝16 ,S8＝1×8＝44； 2∴〔3〕根据等差数列的性质 ,有a3＋a15＝a1＋a17＝40 , ∴S17＝17(a1a17)1740＝340。 22技巧点拨： 1. 此题第〔3〕问看似缺少条件 ,但注意到a3＋a15与a1＋a17的联系 ,便可以很容易地求出结果 ,所以应注意各元素之间的某些特殊联系。 2. 对于两个求和公式Sn＝用。 例题2〔等差数列前n项和的最值〕 等差数列{an}中 ,a1＝13且S3＝S11 ,那么n取何值时 ,Sn取得最大值？并求出Sn的最大值。 思路分析：先根据前n项和公式求公差d ,再求出Sn的表达式 ,转化成二次函数在N*上n(a1an)n(n1)d ,要根据题目的条件灵活选和Sn＝na1＋22第 2 页 的最值问题；也可求出公差d后 ,利用通项公式an的符号解决。 答案：方法一 设公差为d ,由S3＝S11得3×13＋＝－2 ,又a1＝13 ,∴Sn＝3(31)11(111)d＝11×13＋d ,d22d2dn＋〔a1－〕n＝－n2＋14n＝－〔n－7〕2＋49 , 22∴当n＝7时 ,Sn取得最大值 ,最大值是S7＝49； 方法二 同方法一得 d＝－2 ,an＝13－2〔n－1〕＝15－2n , 由an0,152n0, 即 152(n1)0,an10,解得6.5≤n≤7.5 , ∴当n＝7时 ,Sn取得最大值 , ∴Sn的最大值是S7＝7(a1a7)7(131527)＝49； 22方法三 同方法一得d＝－2 又由S3＝S11知a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝4〔a7＋a8〕＝0 , ∵a1＝13＞0 , ∴a7≥0 ,a8≤0 ,知数列的前7项和最大 , ∴S7＝7×13＋技巧点拨： 1. 此题中方法一利用二次函数的最值确定n值；方法二利用等差数列的通项公式确定n值；方法三利用等差数列的性质 ,由条件本身的特点确定n值。 2. 求等差数列前n项和的最值的常见方法： 〔1〕方法一：利用通项公式确定n值 76×〔－2〕＝49。 2an0,①假设a1＞0 ,d＜0 ,那么Sn有最大值 ,n可由不等式组来确定； a0n1an0,②假设a1＜0 ,d＞0 ,那么Sn有最小值 ,n可由不等式组来确定。 an10〔2〕方法二：利用二次函数的最值确定n值 等差数列的前n项和为Sn ,当d≠0时 ,点〔n ,Sn〕是二次函数y＝ax2＋bx〔a≠0〕上的间断点 ,因此可利用二次函数的最值确定n值。 一类与等差数列有关的含绝对值的数列的求和 【总分值训练】数列an为等差数列 ,an103n ,求a1+a2+...+an 思路分析：所求和中关键是去掉绝对值 ,故根据an的正负去掉绝对值。先确定各项的正负 ,再根据正负去掉绝对值 ,然后求和。 答案：由于an有正也有负 ,当an≥0时 ,anan；当an<0时 ,anan。 当an103n≥0时 ,n3 ,所以a1+a2+...+an 技巧点拨： 这类数列的求和问题的易错点是未考虑n3的情形 ,或者考虑了 ,但认为它是一个常数。 第 3 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0b8b18d3350cba1aa8114431b90d6c85ed3a8850.html