第7课时等差数列的前n项和(2)

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第7课时等差数列的前n项和（2）【学习导航】

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学习要求

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题

【自学评价】

1. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等差数列，公差为k2d.

2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.

3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:

(1)利用an:当an>0，d<0，前n项和有最大值可由

an≥0，且an1≤0，求得n的值

当an<0，d>0，前n项和有最小值可由

an≤0，且an1≥0，求得n的值

(2)利用Sn：由Sn

d2n2(ad

12

)n二次函数配方法求得最值时n的值

【精典范例】

【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，

末四项和为67，前n项和为286，求数列的项数n。

分析条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。【解】

a1ana2an1a3an2a4an3

a2167

1an4

22，

Sn(a1an)n2

11n286，

n26。

【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它听课随笔

们的前n项和分别是Sn、Sn′，若

Sn2n3

aS'



n

3n1

,求9b.

9【解法一】 ∵2a9=a1+a17,

2b17(a9=b1+b17,∴S17=1a17)

2

=17a9,

S17′=

17(a1a17)

2

=17b9,∴

a9S172b1731

37

50

. 9S17317【解法二】 ∵｛an｝、｛bn｝是等差数列，∴

可设Sn=An2

+Bn,Sn′=A’n2+B′ n(A、B、A′、B′∈R),∵

Sn2n32n3Sn1n3n2n

, n'3进而可设Sn=(2n2+3n)t,

Sn′=(3n2－n)t(t∈R,t≠0),∴an=S1=(2n2

n－Sn－

+3n)t－

［2(n－1)2+3(n－1)t］=(4n+1)t, ∴a9＝37t.

同理可得bn=Sn′－Sn－1′=(3n2－n)t－［3(n－1)2－(n－1)］t=(6n－4)t, ∴b9=50t,∴

a9b3750

. 9【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整

数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. (1)求数列的公差.

(2)求前n项和Sn的最大值. (3)当Sn＞0时，求n的最大值.

【解】 (1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0, 解得:－

235＜d＜－236

,又d∈Z,∴d=－4 (2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×

23+

65

2

(－4)=78 (3)Sn(n1)

n=23n+2

(－4)＞0，整理得：

n(50－4n)＞00＜n＜25

2

,又n∈N*,

所求n的最大值为12.

点评：可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.

【例4】等差数列{an}中，a10,s9s12,

该数列的前多少项和最小？思路1：

求出Sn的函数解析式（n的二次函数, nN）

，再求函数取得最小值时的n值. 思路2：

公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：an0,an10, 思路3：

由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.

思维点拔：

说明：根据项的值判断前项和的最值有以下结论：

①当a10,d0时，

a1a2a3anan1，

则S1最小；

②当a10,d0时，

a1a2a3an0an1，则Sn最大；

③当a10,d0时，

a1a2a3an0an1，则Sn最小；

④当a10,d0时，

a1a2a3anan1，则Sn最大

【追踪训练一】

1. 已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（ B ） A.25 B.35 C.36 D.45 2.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ C ） A.130 B.170 C.210 D.260

3. 两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比SnS'5n37，则a5

b的值是（ B ） n2n5

A．28485317 B．25 C．2327 D．15

4.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝

1271

2

. 5.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于___9__. 6.在等差数列{an}中，an=

32n－21

2

,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？

【解法一】由an0

可解得6≤n≤听课随笔

a7，

n1

0可知前6项都是正数，第7项为0，因此S6=S7

为Sn的最小值.

【解法二】由a3n=

2n212知Sn=a1+a2+…+a3n=4n(n1)212

n=32393135074n4n4(n2)216

∴当n=6或n=7时,Sn取得最小值.

【选修延伸】

【例5】已知数列{an}的前

n项和

Sn12nn2，

求数列{|an|}的前n项和Tn。分析：由Sn12nn2知Sn是关于n的无

常数项的二次函数（nN

），可知{an}为等差数列，可求出an，然后再判断哪些项为正，那些项为负，求出Tn。

【解】当n1时，a1S1121211；

当n2，

anSnSn1

12nn2[12(n1)(n1)2]。

132n

n1时适合上式，

{an}的通项公式为an132n。

由a2n0，得n13

n132

，

即当1n6(nN

)时，an0；当n7时，an0。

（1）当1n6(nN)时，

Tn|a1||a2||an|

a1a2

an

12nn2

（2）当n7(nN

)时， Tn|a1||a2||an|

(a1a2a6)(a7a8an)

.

Sn2S6n212n72

T

12n2(1n6,nN)nn72(n7,nN)

。 n2

12

【追踪训练二】

1. 在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8

等于（ C ）

A.3 B.4 C.6 D.12 2.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ B ）

A.9 B.10 C.11 D.12

3.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由ban=

a12an

n

(n∈N*)确定的数列

{bn}的前n项和是（ A ）

A.

1

1

2 n(n+5) B.

2

n(n+4) C. 1

2

n(2n+7)

D.n(n+2)

4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于___5___. 【解析】由已知S偶S

32

27

，又S偶+S奇=354 奇

∴S

偶

=

32

3227

(S偶+S奇)=192 S奇=162 d=S偶S奇192162

66

=55 5.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,

求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.

【解】 ∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,

又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.

∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.

当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.

∴S32nn2

(n16)n'51232nn2

(n16)

听课随笔

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/4c41c1999e314332396893a5.html

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