柯西不等式 【基础知识】 1、什么是柯西不等式： 定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则 (a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。 几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为•acbd， 而||a2b2，||c2d2，所以柯西不等式的几何意义就|||||•|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则|||||•|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则： (x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？ 4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：aii1n2bi1n2i(aibi)2，其中等号当且仅当i1nbb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。 a1a2an柯西不等式有两个很好的变式： 2(ai)2ai变式1 设aiR,bi0(i1,2,,n), ，等号成立当且仅当 bbi1iinbiai(1in) 1 / 2 2ai(ai)变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，babi1iiin等号成立当且仅当b1b2bn。 2 / 2 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/0ea1c26e874769eae009581b6bd97f192279bf84.html