研究四位数的雷劈数

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研究四位数的雷劈数

首先,何为雷劈数呢?雷劈数:有位叫卡普利加的印度数学家。他在一次旅行中,遇到猛烈的暴风雨,电闪雷鸣过后,他看到路边一块牌子,被雷电劈成了两半,一半上写着30另一半写着25这时,卡普利加的脑中忽然发现了一个绝妙的数学关系:30+25=55 55^2=3025把劈成两半的数加起来,再平方,正好是原来的数字。按照第一个发现者的名字,这种怪数被命名为“卡普利加数”或“雷劈数”。

现在我们来计算一下有哪些四位数是雷劈数: 设一个四位数是abcd,则由上面的定义可得,

(10a+b+10c+d)^2=1000a+100b+10c+d (b+d)^2-d=10m(mZ)

b,d=(0,1),(0,5),(0,6),(4,4),(8,1)

下面分五种情况来讨论: 1. (b,d)=(0,1)时,

(10a+10c+1)^2=1000a+10c+1 10(a+c)^2=98a-c 10|98a-c,2|c

98a-c<900,所以a+c<10

则(a,c)所有可能的情况为(1,8),(2,6),(3,4),(4,2),经验证可知均不符合条件。 2.当(b,d)=(0,5)时, 10(a+c)^2=90a-9c-2 10|9c+2,推出c=2 a^2-5a+6=0,a=23 所以2025,3025是雷劈数。


3.(b,d)=(0,6)时, 10(a+c)^2+3=11(8a-c) a+c<9

10|11(8a-c)-3

所以(a,c)所有情况为(1,5),(2,3),(3,1),经验证可知均不符合条件。 4.当(b,d)=(4,4)时, 10(a+c)^2=84a-15c+34 10 | 84a-6

所以a=49,经验证可知均不符合条件。 5.当(b,d)=(8,1)时, 10(a+c)^2=82a-17c+72 10|82a-17c-8 2|c

所有可能的(a,c)(4,0),(1,2),(3,4),(2,8),经验证可知均不符合条件。 综上可得,四位数的雷劈数只有20253025




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