疱丁巧解牛 知识·巧学 一、直线的倾斜角 1.倾斜角:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 2.倾斜角的范围:当直线l与x轴相交时,α可以是锐角、直角、钝角.当l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°,因此0°≤α<180°. 3.倾斜角的意义:平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角,倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.倾斜角直接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此要确定一条直线,只要已知直线上的一个定点和它的倾斜角就可以了. 要点提示 1.要理解倾斜角定义中含有三个条件:①直线向上的方向;②x轴的正方向;③小于平角的正角,因此倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度. 3.由倾斜角的定义可知平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角. 二、直线的斜率 1.斜率:当直线l的倾斜角α不为90°时,α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示. 2.斜率公式:k=tanα(α≠90°). 3.斜率与倾斜角的关系:一条直线必有一个确定的倾斜角,但不一定有斜率(倾斜角为90°时无斜率).若直线斜率k>0,则倾斜角为锐角;若k<0,倾斜角为钝角;若k不存在,倾斜角为90°;若k=0,倾斜角为0°.当直线斜率k>0时,直线斜率越大,倾斜角越大;当直线斜率k<0时,直线斜率越大,倾斜角越大. 4.斜率的意义:斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此,要确定一条直线,只要知道直线上的一个定点和它的斜率就可以了. 误区警示 在求解有关直线斜率的问题时,考虑直线的倾斜角是否为90°,即斜率是否存在是非常必要的,否则容易造成丢解. 三、已知直线上两点求斜率的公式 已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则其斜率为k=y2y1.斜率公式既可以由已x2x1知两点求斜率,也可以由斜率及一点的坐标求另一点的坐标满足的关系式,即公式的正用与逆用. 直线的斜率公式k=y2y1有意义的条件为x1≠x2,应用此公式时常常用到方程思想. x2x1误区警示 从公式可以看出当x1=x2,即P1P2与x轴垂直时,k不存在(α=90°).当y1=y2,即P1P2与y轴垂直时,k=0(α=0°),并且k的值与P1、P2两点坐标的顺序无关. 问题·探究 问题1 一次函数y=kx+b的图象是什么?k<0时,其函数的单调性怎样?对应的图象有什么特征? 探究:图象为直线;k<0时,函数在(-∞,+∞)上递减;其对应的图象的斜率小于0.出现“左高右低”的形式. 问题2 任一直线都有倾斜角吗?都有斜率吗?是否直线的倾斜角越大,其斜率也越大? 探究:都有倾斜角;不一定都有斜率,如θ=90°时,斜率不存在;应分θ∈[0°,90°)和(90°,180°)两个区间分别说明,直线的斜率关于该直线的倾斜角的单增性在各自区间是成立的,而θ∈[0°,180°)时,则不正确. 问题3 请同学们在地面上固定一个点P,并放置一根直棒AB,使点P与AB不共线,当建立一个直角坐标系,使P(0,-2)、A(-2,1)、B(3,2)时,由点P引一根很长的线PQ,当线PQ绕点P旋转,总与棒AB相交时,你能求出该线PQ的斜率的取值范围吗? 探究:该问题可以画图分析,即可转化为直线PQ由PB逆时针旋转到PA过程中直线PQ的斜率的变化范围.而kPB=224123,kPA=,在此旋转过程中,PQ的斜率由kPB303202变化到无穷大,又由无穷大变化到kPA. 所以PQ的斜率的取值范围为(-∞,34]∪[,+∞). 32典题·热题 例1 已知直线l经过点A(-2,0)、B(-3,1),求l的倾斜角. 思路解析:先由斜率公式求出斜率,再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.当斜率k<0时,倾斜角α为钝角,利用tanα=tan(180°-β),其中tanβ=-k,β为锐角. 解:设直线l的斜率为k,倾斜角为α,则k=101,∴tanα=-1. 3(2)∵tan45°=1,∴tan(180°-45°)=-tan45°=-1. ∴α=180°-45°=135°,即l的倾斜角为135°. 深化升华 用公式法求直线的斜率问题,注意分子分母只要前后顺序一致即可,顺序可以颠倒.由斜率判断角的范围时,若直线斜率k>0,则倾斜角为锐角;若k<0,倾斜角为钝角;若k不存在,倾斜角为90°;若k=0,倾斜角为0°. 例2 若直线l1的斜率为k1,倾斜角为α1,直线l2的斜率为k2,倾斜角为α2,且k1+k2=0,k1k2≠0. 求证:α1+α2=180°. 思路解析:该题进一步给出了斜率与倾斜角的关系,证α1+α2=180°,只需证α2=180°-α1,也即证tanα2=tan(180°-α1)成立,再考虑α2与180°-α1在同一单调区间内即可. 证明:如图3-1-1所示,∵k1+k2=0,且k1·k2≠0, 图3-1-1 ∴k1≠0,k2≠0,故k1=-k2, 即tanα1=-tanα2=tan(180°-α2). ∵0°<α1<180°,0°<α2<180°, ∴-180°<-α2<0°,0°<180°-α2<180°. ∴α1与180°-α2都在(0°,180°)中,且α1、α2都不等于90°. ∴α1=180°-α2,即α1+α2=180°. 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/1f9df7d582c758f5f61fb7360b4c2e3f572725d9.html