最新人教版高中数学必修2第三章《直线的倾斜角与斜率》教材梳理

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疱丁巧解牛

知识·巧学

一、直线的倾斜角

1.倾斜角:当直线lx轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

2.倾斜角的范围:当直线lx轴相交时,α可以是锐角、直角、钝角.lx轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为,因此0°≤α180°.

3.倾斜角的意义:平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角,倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.倾斜角直接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此要确定一条直线,只要已知直线上的一个定点和它的倾斜角就可以.

要点提示 1.要理解倾斜角定义中含有三个条件:①直线向上的方向;x轴的正方向;③小于平角的正角,因此倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

2.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度. 3.由倾斜角的定义可知平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角. 二、直线的斜率

1.斜率:当直线l的倾斜角α不为90°时,α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字k表示.

2.斜率公式:k=tanα(α≠90°).

3.斜率与倾斜角的关系:一条直线必有一个确定的倾斜角,但不一定有斜率(倾斜角为90°无斜率).若直线斜率k0,则倾斜角为锐角;若k0,倾斜角为钝角;若k不存在,倾斜角为90°;若k=0,倾斜角为.当直线斜率k0时,直线斜率越大,倾斜角越大;当直线斜率k0时,直线斜率越大,倾斜角越大.

4.斜率的意义:斜率间接反映了直线对x轴正向的倾斜程度.因此,要确定一条直线,只要知道直线上的一个定点和它的斜率就可以了.

误区警示 在求解有关直线斜率的问题时,考虑直线的倾斜角是否为90°,即斜率是否存在是非常必要的,否则容易造成丢解. 三、已知直线上两点求斜率的公式

已知直线上两点P1(x1y1)P2(x2y2),则其斜率为k=

y2y1

.斜率公式既可以由已

x2x1

知两点求斜率,也可以由斜率及一点的坐标求另一点的坐标满足的关系式,即公式的正用与逆用.

直线的斜率公式k=

y2y1

有意义的条件为x1≠x2,应用此公式时常常用到方程思想.

x2x1

误区警示 从公式可以看出当x1x2,即P1P2x轴垂直时,k不存在(α90°.y1y2P1P2y轴垂直时,k0α,并且k的值与P1P2两点坐标的顺序无关. 问题·探究

问题1 一次函数y=kx+b的图象是什么?k0时,其函数的单调性怎样?对应的图象有什么特征?

探究:图象为直线;k0时,函数在(-+∞)上递减;其对应的图象的斜率小于0.出现左高右低的形式.

问题2 任一直线都有倾斜角吗?都有斜率吗?是否直线的倾斜角越大,其斜率也越大?




探究:都有倾斜角;不一定都有斜率,θ=90°时,斜率不存在;应分θ,90°)(90°,180°)两个区间分别说明,直线的斜率关于该直线的倾斜角的单增性在各自区间是成立的,而θ,180°)时,则不正确.

问题3 请同学们在地面上固定一个点P,并放置一根直棒AB,使点PAB不共线,当建立一个直角坐标系,使P(0-2)A(-21)B(32)时,由点P引一根很长的线PQ,当线PQ绕点P旋转,总与棒AB相交时,你能求出该线PQ的斜率的取值范围吗?

探究:该问题可以画图分析,即可转化为直线PQPB逆时针旋转到PA过程中直线PQ斜率的变化范围.kPB=

224123

kPA=,在此旋转过程中,PQ的斜率由kPB

303202

变化到无穷大,又由无穷大变化到kPA. 所以PQ的斜率的取值范围为(-∞,

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]∪[,+∞).

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典题·热题

1 已知直线l经过点A(-20)B(-31),求l的倾斜角.

思路解析:先由斜率公式求出斜率,再由斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.当斜率k<0时,倾斜角α为钝角,利用tanα=tan(180°-β),其中tanβ=-kβ为锐角. 解:设直线l的斜率为k,倾斜角为α,则k=

10

1,∴tanα=-1.

3(2)

tan45°=1,∴tan(180°-45°)=-tan45°=-1. α=180°-45°=135°,即l的倾斜角为135°.

深化升华 用公式法求直线的斜率问题,注意分子分母只要前后顺序一致即可,顺序可以颠倒.由斜率判断角的范围时,若直线斜率k0,则倾斜角为锐角;若k0,倾斜角为钝角;若k不存在,倾斜角为90°;若k=0,倾斜角为.

2 若直线l1的斜率为k1,倾斜角为α1,直线l2的斜率为k2,倾斜角为α2,且k1+k2=0k1k2≠0.

求证:α12=180°.

思路解析:该题进一步给出了斜率与倾斜角的关系,证α12=180°,只需证α2=180°-α1,也即证tanα2=tan(180°-α1)成立,再考虑α2180°-α1在同一单调区间内即可. 证明:如图3-1-1所示,∵k1+k2=0,且k1·k2≠0



3-1-1

k1≠0k2≠0,故k1=-k2 tanα1=-tanα2=tan(180°-α2). 0°<α1<180°0°<α2<180° -180°<-α2<0°<180°-α2<180°. α1180°-α2都在(0°180°)中,且α1α2都不等于90°. α1=180°-α2,即α12=180°.




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