第 17课时 空间几何体的表面积 (2) 听课随笔 一、【学习导航】 知识网络 圆柱 空间旋转体 圆锥 圆台 学习要求 1． 理解圆柱圆锥圆台的侧面积公式的推 导。 2. 会求一些简单旋转体的表面积 . 【课堂互动】 自学评价 1. 圆柱侧面积公式：见书中（以下同） ． ２ . 圆锥侧面积公式： ３ . 圆台侧面积公式： ４ . 三个公式之间的关系： 【精典范例 】 例 1：有一根长为 5cm , 底面半径为 1cm 的圆柱形铁管 , 用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈 , 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母 线的两端 , 则铁丝的最短长度为多少厘米 ? ( 精确到 0.1cm) 【解】 见书． 用心 定义及侧面积公式 定义及侧面积公式 关系 定义及侧面积公式 例 2： (1)等边圆柱的母线长为 4,则其等边圆柱的表面积为 24 ． (2) 等边圆锥的母线长为 4,则其等边圆锥的表面积为 12 ． (3) 圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为 (10 8 2 ) ． 例 3. 已知一个圆锥的底面半径为 R , 高为 h , 在其中有一个高为 x 的内接圆柱 . ; (1) 求圆柱的侧面积 (2)x 为何值时 , 圆柱的侧面积最大 ? 并求出 最大值 . 解：（１）设圆锥底面半径为 r, 则 r h x 得 r h x R R h h 所以侧面积＝ 2 x h x R h ＝ 2 R (hx x2 ) h （２）由（１）知，当 xh 时，侧面积最 2 大，为 Rh ． 2 思维点拨 1．空间问题平面化，会用侧面展开图解题． 爱心 专心 听课随笔 ２．记清记准圆柱圆锥圆台的侧面积公式． 侧面积综合题选讲 四棱锥 P— ABCD 的底面是面积为 9 的矩形， 追踪训练 PA⊥平面 ABCD ，侧面 PBC、侧面 PDC 与底面所1． △ ABC 的三边长分别为 AC=3 , 成的角分别是 60°和 30°，求四棱锥的全面积。BC=4 , AB=5 , 以 AB 所在直线为轴 , 将此三角形旋转一周 , 求所得旋转体的表面积 . 答案：表面积＝84 ． 5 ２．圆锥形烟囱帽的底半径是 40cm , 高 是 30cm , 已知每平方米需要油漆 150g , 油漆 50 个这种烟囱帽 (两面都漆 ), 共需油漆多少千克 ?(精确到 1kg) 简答：一个圆锥侧面积＝ 2000 cm 2 50 个双面的面积为 20 (m2 ) 共用油漆 = 20 150g 9.42 kg 答共需 10kg. ３．圆台的侧面积为Ｓ，其上底面、下底面的半径分别为 r 和 R, 求证：截得这个 圆台的圆锥的侧面积为 R2 S ． R2 - r 2 法基本量证略 . 【选修延伸】 用心 思路： :先证后算．把四个侧面三角形的面积求出后再与底面积相加即可． 答案：全面积＝ 18 9 3 ． 思维点拨 在综合题中， 遇到的不一定就是能直接套用公式的几何体． 于是要利用几何体的性质与线面关系来解决问题． 这就要求我们不但要发展定势思维，而且还要发展发散思维． 本题中所用方法就是比较原始的方法， 即把几何体各个面的面积求出后相加来求出几何体的表面积． 追踪训练 正三棱台上、下底面边长分别为 1， 3， 侧面积为 4 3 ，求它的侧面与下底面所成二面 角的大小． 答案； 60 学生质疑 教师释疑 爱心 专心 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/25f18b4ed8ef5ef7ba0d4a7302768e9951e76eb1.html