数形结合思想 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 一、以数助形 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1、如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE⊥BC，C EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置. F E 例2、如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC内的点PA 向△ABC 的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）. 若B D F 2222A BDCEAF27.求：BDBF的长. 例3、已知ABC的三边长分别为mn、2mn及mn（m、n为正B 整数，且 mn）。求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）。 【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，设pE P D C abc，则S2】 p(pa)(pb)(pc)。 例4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形． 例5、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边AD80毫米，BC120毫 米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分别在AB,AC上，设该矩形的长QMy毫米，宽MNx毫米．当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？ 例6、如图,点P是矩形ABCD内一点，PA3，PB=4，PC=5，求PD的长． 1 二、以形助数 几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面： （1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式； （2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。 例1、在等腰ABC中,ABAC5,BC6,P是底边上任一点,求P到两腰的距离的和． 例2、已知a、b均为正数，且ab2。求a24b21的最小值。 例3、若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2012(M在N的左侧)，且M、N两点经过折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M: N: BA-6-5-4-3-2-1012345 例4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A，B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且d－2a＝10，则原点在（ ）的位置 A. 点A B. 点B C.点C D.点D x－a＞0例5、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是___________． 2－x＞0例6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合． (1) 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为 cm． (2) 由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题: 一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？ 1例7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为2的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前1一块被剪掉正三角形纸板边长的2）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1= . … 2 ① ② ③ ④ 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/2632040f4b2fb4daa58da0116c175f0e7cd119c4.html