数形结合思想及其内涵 “数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。 事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。 给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性。 二、应用： 数形结合思想在课本中，具有突出的地位。比如：在集合运算中的应用。涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。 又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质。 下面举例说明数形结合的奇妙。 例1：已知实数 满足 ，求证： 分析：分析：记 ，那么d的几何意义是直线 ： 的点与定点M（－2，－2）的距离，由点M到直线 的距离为 ，根据平面几何的知识知， ，即 。 例2：已知 ，且 ，求证： 。 分析：要解决本题是很容易的，但我们从“形”的角度来认识和解决这个问题是十分有趣的。记 ，那么d的几何意义是在空间直角坐标系中，原点O（0，0，0）到平面 上任意一点的距离。设平面 与空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴的交点分别为A、B、C，则OA=OB=OC=1，那么正三棱锥O—ABC的侧棱为1，侧面的顶角均为90°（如图）。由等体积法易得，点O到平面ABC（即平面 ）的距离为 ， 从而 ，即 。 例3：若实数 满足 ，则 的取值范围是 ； 分析：方程 表示的图形是以C（－4，3）为圆心半径为3的圆（如图）。记 ，那么d的几何意义是圆上的动点M与原点O的距离。连接OC并延长，交圆于A、B，则 ，则 。所以 的取值范围是[4，64]。 例4：已知方程 ，当k为何值时，方程恰有①四个解？②三个解？③两个解？④无解？ 分析：本题若采用代数的方法，十分繁杂，若采用数形结合的方法，则一目了然。在同一直角坐标系下，作函数 和 的图象（如图），那么当 时，方程有两个解； 当k∈（0，3）时，方程有四个解； 当k=3时，方程有三个解；当 时方程无解。 例5：设 ，试求使方程 有解的k的取值范围。 分析：∵方程有解，应满足条件： 上述条件组等价于 。 在同一坐标系下作直线 和曲线 ，如图，根据平行直线系与等轴双曲线弧有公共点的充要条件是直线在x轴上的截距应满足： 或 ，由此可得，k＜－1或0＜k＜1。 综上所述，k的取值范围是 。 以上仅例举了数形结合思想在方程与不等式方面的应用，对于它在函数、三角函数、复数、解析几何方面的应用，限于篇幅，这里不再赘述。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/8ce210c549fe04a1b0717fd5360cba1aa8118c89.html