圆系方程及其妙用

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圆系方程及其妙用

上海任念兵

在学习圆的方程时，“求过已知直线与已知圆交点的圆的方程”问题值得同学们思考和探究.解决这类问题的常见思路有两种：其一，先求出两个交点，再根据题设的其它条件求出圆的圆心坐标和圆半径，从而列出圆的标准方程；其二，先求出两个交点，代入含待定参数的圆的一般方程，再联合题设的其它条件得到三元一次方程组，解出各参数，从而列出圆的一般方程.然而，无论利用上述的哪种思路,均涉及颇为繁杂的计算，这无疑增加了解题时间、降低了解答的准确度；其实，只要利用过交点的圆系方程即可避开运算，直接切入问题本质，堪称绝妙的技巧.

我们简化计算的法宝是:经过直线l:AxByC0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程为x2y2DxEyFAxByC0.„„„„„„„„„（*）

DADAEB

首先配方（*）式得xy

224

当

222



EB4

2

FC,

DA4

2



EB4

2

FC0时,（*）式表示一组随变化的圆，因此我们称之

为圆系；其次可以证明直线l与圆C的所有交点均在这个圆系上.不妨设Px0,y0为交点,则P在直线l和圆C上，有Ax0By0C0,x0y0Dx0Ey0F0,两式相加得

x0y0

2

2

2

2

Dx0Ey0FAx0By0C0,即P在（*）式表示的圆系上.因此，过

直线l与圆C交点的圆的方程均可以设为（*）式的结构.

先看看教材中的一道习题：

例1：已知一个圆经过直线l：2xy40与圆C：x2y22x4y10的两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程.

分析：首先明确题目中要求的圆是在过交点的圆系中，然后根据“该圆是圆系中面积最小,即半径最小”这个条件来确定的值，从而得到该圆方程. 解:设此圆方程为x2y22x4y12xy40，即

x

2

y

2

21x4y140，将方程配方成标准形式，易得该圆半径为

2

r

12

414414

2

2

12

8816

，所以当时，半径最小，5

555

2

2

1364

即此圆的面积最小. 将代入圆系方程得,所求圆的方程为xy.

5555

8

点评:虽然利用“先求交点坐标、再求圆心坐标和半径”的思路也可以迅速求解本题，但利

用圆系方程求解，突出了过交点的圆随变化而变化的动态过程.

对例1的解题过程进一步分析不难发现,圆系方程中的值控制着动圆的圆心和半径，控制着动圆上的其它点的位置,因此利用圆系还可以迅速解决下面的问题:

练习1: 已知一个圆经过直线2xy40与圆x2y22x4y10的交点,且圆心在直线2x4y10上,求此圆的方程.

练习2: 已知一个圆经过直线2xy40与圆x2y22x4y10的交点,且经过点

P2,5,求此圆的方程.

上述问题都是根据题设条件来求圆系中某个圆的方程，接下来我们探讨一下圆系中各个圆之间的位置关系.由圆系方程（*）式的配方结果可知，圆系中各圆圆心为

EBDA

,,易知这些圆心均在直线2Bx2AyBDAE0上，这是一条与已22

知直线l:AxByC0垂直的直线. 从而,圆系中各圆的位置关系取决于已知直线和已知圆的交点个数.显然,若有两个交点,则圆系中各圆均有两个公共点,即它们相交；若只有一个交点,则圆系中各圆均只有一个公共点,即它们相切,包括外切和内切.

例2：圆系x2y22kx4k10y10k200k1中任两圆之间的关系是（） A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切或外切

分析:首先要明确圆系的特征，到底是过哪条直线和哪个圆的交点,然后判断交点的个数,这是判断圆系中各圆位置关系的关键.

解:整理圆系方程x2y210y20k2x4y100k1,因此已知直线l:

2x4y100,已知圆C:x

2

y

2

10y200,配方得圆心为0,5,半径为

5.

求得圆C的圆心到直线l的距离为d

204510

2

2

4

2

5,故圆C与直线l相切,即

交点个数为1.所以圆系中各圆的位置关系是内切或外切,选D.

点评:在判断已知直线和已知圆交点个数时,利用已知圆心到直线的距离与已知圆半径的大小比较,仍是基本而且最有效的手段.

对例2进行解题回顾,我们发现题设中k1这个条件似乎毫无用处,那么k1时到底是什么情况呢?当k1时,圆的方程为x2y22x6y100,配方得

x12y30,即此时圆退化成一个点1,3.由此可见，对于圆系方程中参数

2

应有范围限制,那就是要保证（*）式中

DA4

2



EB4

2

FC0.

小结:①利用过已知直线和已知圆交点的圆系方程可以简化计算;

②通过求已知直线和已知圆交点个数可以判断圆系中各圆的位置关系;

③利用圆系方程时一定要注意参数的限制范围。最后，有兴趣的读者可以将本文的探讨内容类比到“过已知直线与直线交点的直线系”、“过已知圆与圆交点的圆系”等等.

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/32bd712b15fc700abb68a98271fe910ef12daee0.html

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