圆的方程讲义

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圆的方程

知识梳理:

一、圆的标准方程

1.平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点是圆心,定长是半径. 2.确定圆的几何要素:

(1)不共线三点确定一个圆,圆心在任意两点连线段的中垂线上,三点确定的三角形叫该圆的内接三角形,该圆叫做这个三角形的外接圆,圆心叫做三角形的外心.

(2)圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,只要圆心和半径确定下来,圆也就确定下来了,因此求圆的方程必须具备三个独立条件.

3.圆心为(ab)半径为r(r>0)的圆的方程为:(xa)(yb)r,称作圆的标准方程.特别地,圆心在原点、半径为r的圆方程为xyr. 4.点P(x0y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系.

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P在圆外(x0a)2(y0b)2>r2 P在圆上⇔(x0a)2(y0b)2r2 P在圆内(x0a)2(y0b)2<r2.

二、圆的一般方程

D2E2DE4F.

1.圆的一般方程xyDxEyF0,配方得xy

422

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E122D22

(1)DE4F>0时,方程表示以,-为圆心,DE4F为半径的圆;

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(2)DE4F0时,方程表示一个点,-

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(3)DE4F<0 时,方程没有实数解,它不表示任何图形.

2.二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是:AC≠0B0D2E24F>0 .

3.点P(x0y0)与圆x2y2DxEyF0(D2E24F>0)的位置关系是: P在圆内P在圆上 P在圆外

4.求轨迹方程的五个步骤:

(1)建系:建立适当的坐标系,用(xy)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)设点:写出适合条件P的点M的集合P{M|p(M)} (3)列式:用坐标(xy)表示条件p(M),列出方程F(xy)0 (4)化简:化方程F(xy)0为最简形式;

(5)查漏、剔假:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.



.

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2

DE




典型例题:

类型一 圆的标准方程

1:写出下列方程表示的圆的圆心和半径.

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(1)xy2 (2)(x3)y4

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(3)x(y1)9 (4)(x1)(y2)8.

练习1:已知圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r>0),试根据下列条件,分别写出abr应满足的条件:

(1)圆心在x轴上; (2)圆与y轴相切;

(3)圆过原点且与y轴相切; (4)圆与两坐标轴均相切.

练习2已知圆C的方程为x5y610试判断点M6,9,N3,3,Q5,3是在圆上,

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圆内,还是在圆外?

2:过两点P(2,2)Q(4,2),且圆心在直线xy0上的圆的标准方程是( )

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A(x3)(y3)2 B(x3)(y3)2

C(x3)(y3)2 D(x3)(y3)2

练习1:求经过点A(10,5)B(4,7),半径为10的圆的方程.

练习2:求满足下列条件的方程

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1)圆心在原点,半径是3 2)圆心在点C3,4上,半径半径是5 3)圆心在直线5x3y8上,又圆与坐标轴相切

练习3:求以A(2,2)B(5,3)C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.

类型二 圆的一般方程

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3m是什么实数时,关于xy的方程(2mm1)x(mm2)ym20表示一个圆?

222

练习1:已知方程xy2mx2ym5m0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径.

练习2xyxyR0表示一个圆,则R的取值范围是( A,2 B,2 C,

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, D 22





4:已知△ABC的三个顶点为A(1,4)B(23)C(4,-5),求△ABC的外接圆的一般方程.


本文来源:https://www.wddqw.com/doc/ff344a7f59cfa1c7aa00b52acfc789eb172d9e2a.html