圆的方程 知识梳理: 一、圆的标准方程 1.平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点是圆心,定长是半径. 2.确定圆的几何要素: (1)不共线三点确定一个圆,圆心在任意两点连线段的中垂线上,三点确定的三角形叫该圆的内接三角形,该圆叫做这个三角形的外接圆,圆心叫做三角形的外心. (2)圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,只要圆心和半径确定下来,圆也就确定下来了,因此求圆的方程必须具备三个独立条件. 3.圆心为(a,b)半径为r(r>0)的圆的方程为:(x-a)+(y-b)=r,称作圆的标准方程.特别地,圆心在原点、半径为r的圆方程为x+y=r. 4.点P(x0,y0)与圆(x-a)+(y-b)=r的位置关系. 222222222P在圆外⇔(x0-a)2+(y0-b)2>r2, P在圆上⇔(x0-a)2+(y0-b)2=r2, P在圆内⇔(x0-a)2+(y0-b)2<r2. 二、圆的一般方程 D2E2D+E-4F. 1.圆的一般方程x+y+Dx+Ey+F=0,配方得x++y+=4222222E122D22(1)当D+E-4F>0时,方程表示以-,-为圆心,D+E-4F为半径的圆; 22222(2)当D+E-4F=0时,方程表示一个点-,-; 22(3)当D+E-4F<0 时,方程没有实数解,它不表示任何图形. 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是:A=C≠0,B=0,D2+E2-4F>0 . 3.点P(x0,y0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的位置关系是: P在圆内⇔P在圆上⇔ P在圆外⇔ 4.求轨迹方程的五个步骤: (1)建系:建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)设点:写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)}; (3)列式:用坐标(x,y)表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0; (4)化简:化方程F(x,y)=0为最简形式; (5)查漏、剔假:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. , , . 22DE 典型例题: 类型一 圆的标准方程 例1:写出下列方程表示的圆的圆心和半径. 2222(1)x+y=2; (2)(x-3)+y=4; 2222(3)x+(y-1)=9; (4)(x+1)+(y+2)=8. 练习1:已知圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),试根据下列条件,分别写出a、b、r应满足的条件: (1)圆心在x轴上; (2)圆与y轴相切; (3)圆过原点且与y轴相切; (4)圆与两坐标轴均相切. 练习2:已知圆C的方程为x5y610,试判断点M6,9,N3,3,Q5,3是在圆上,22圆内,还是在圆外? 例2:过两点P(2,2)、Q(4,2),且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是( ) 2222A.(x-3)+(y-3)=2 B.(x+3)+(y+3)=2 C.(x-3)+(y-3)=2 D.(x+3)+(y+3)=2 练习1:求经过点A(10,5)、B(-4,7),半径为10的圆的方程. 练习2:求满足下列条件的方程 2222(1)圆心在原点,半径是3; (2)圆心在点C3,4上,半径半径是5; (3)圆心在直线5x3y8上,又圆与坐标轴相切 练习3:求以A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 类型二 圆的一般方程 2222例3:m是什么实数时,关于x、y的方程(2m+m-1)x+(m-m+2)y+m+2=0表示一个圆? 222练习1:已知方程x+y+2mx-2y+m+5m=0表示圆,求: (1)实数m的取值范围; (2)圆心坐标和半径. 练习2:xyxyR0表示一个圆,则R的取值范围是( ) A.,2 B.,2 C.,2211, D. 22 例4:已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(-2,3)、C(4,-5),求△ABC的外接圆的一般方程. 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/ff344a7f59cfa1c7aa00b52acfc789eb172d9e2a.html