第9讲 §2.1.1 平面 ¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以和它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言及符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理. ¤知识要点： 1. 点A在直线上,记作Aa；点A在平面内,记作A；直线a在平面内,记作a. 2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下： 公理1 公理2 公理3 图形 语 言 文如果一条直线上过不在一条直线上如果两个不重合的平字的两点在一个平的三点，有且只有一面有一个公共点，那么语面内，那么这条直个平面. 它们有且只有一条过言 线在此平面内. 该点的公共直线. 符Al,BlA,B,C不共线l号lP,P A,BPlA,B,C确定平面语言 3.公理2的三条推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲： 【例1】如果一条直线及两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组5题） 解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，及两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线及两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系. 【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. （同P58 B组3题） 第 17 页 解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC. 同理P面ADC. ∵ P在面ABC及面ADC的交线上， 又 ∵面ABC∩面ADC=AC， ∴PAC，即EF、HG、ACCAB三线共点. 【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线AB,BC,CA两两相交，交点分别为A,B,C， 求证：直线AB,BC,CA共面. 证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α. 所以AB，BC，CA三直线共面． 点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知及求证. 常根据三条公理，进行“共面”问题的证明. 【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中， （1）AA1及CC1是否在同一平面内？（2）点B,C1,D是否在同一平面内？ （3）画出平面AC1及平面BC1D的交线，平面ACD1及平面BDC1的交线. 解：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中， ∵AA1//CC1， ∴由公理2的推论可知，AA1及CC1可确定平面AC1， ∴AA1及CC1在同一平面内. （2）∵点B,C1,D不共线，由公理3可知，点B,C1,D可确定平面BC1D， ∴ 点B,C1,D在同一平面内. （3）∵ACBDO，D1CDC1E， ∴点O平面AC1，O平面BCD1， 又C1平面AC1，C1平面BC1D， ∴ 平面AC1平面BC1DOC1， 同理平面ACD1平面BDC1OE． 点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练. 第9练 §2.1.1 平面 ※基础达标 1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ C ）. A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对 2．下列推断中，错误的是（ C ）. A．Al,A,Bl,Bl B．A,A,B,BAB C．l,AlA D．A,B,C,A,B,C，且A、B、C不共线,重合 3．E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（B ）. A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内 4．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ C ）. A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 5．下列说法中正确的是（ D ）. A. 空间不同的三点确定一个平面 B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面 C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 6．给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 . ①④ 7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 . 4 AGD※能力提高 H8．正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H、K、L分别BCF是DC、DD1、A1D1、 A1B1、BB1、BC的中点. 求证：这六点共面． KAD证明：连结BD和KF，因为 E、L是CD、CB的中点，EB所以 EL//BD． CL又 矩形BDDB中KF//BD，所以 KF//EL， 所以 KF、EL可确定平面，所以 E、F、K、L共面， 同理 EH//KL，故 E、H、K、L共面． 又 平面及平面都经过不共线的三点E、K、L， 故 平面及平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面． 同理可证G，所以，E、F、G、H、K、L六点共面． 111111第 19 页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3bae1444757f5acfa1c7aa00b52acfc789eb9f93.html