2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.8直线与圆锥曲线的位置关系学案含解析新人教
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word 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 关键能力·合作学习 类型一 直线与圆锥曲线的位置关系(逻辑推理) 1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率k的取值X围是( ) 11A．－2，2 B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 【解析】选C.由已知，得直线l的方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程联立方程组，整理得ky2－8y＋16k＝0. 当k＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k≠0时， 由Δ＝64－64k2≥0，解得－1≤k≤1，所以－1≤k≤1，且k≠0. 综上得－1≤k≤1. 2．已知双曲线C：x2－y24 ＝1，过点P(1，2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解析】选B.因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1，0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条． x23．若椭圆2 ＋y2＝a2(a＞0)与连接两点A(1，2)，B(3，4)的线段有公共点，则实数a的取值X围为________． x2【解析】若椭圆2 ＋y2＝a2(a＞0)和连接两点A(1，2)，B(3，4)的线段没有公共点，所以A，B都在椭圆内或A，B都在椭圆外， - 1 - / 9 word 当点A，B都在椭圆内时， 92＋16，
2
122＋4，
82
解得a＞2 ；当点A，B都在椭圆外时，
92，＋16>a232
解得0＜a＜2 .
122＋4>a，
3282
所以实数a的取值X围是0， ∪ . ，＋∞22
所以当椭圆与线段AB有公共点时实数a的取值X围是答案：
8232
，22
关于直线与圆锥曲线的交点个数判断
(1)代数法：直线与圆锥曲线的方程联立、消元，
①如果得到的是一元二次方程，则利用Δ判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数； ②如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，此时直线与圆锥曲线有一个交点．
(2)几何法：一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与渐近线斜率的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数．
类型二 直线与圆锥曲线相切问题(逻辑推理、数学运算)
x2y2
【典例】设点M是椭圆C：a2 ＋b2 ＝1(a＞b＞0)上一动点，椭圆的长轴长为43 ，离心率为63 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)求点M到直线l1：x＋y－5＝0距离的最大值及此时点M的坐标．
【思路导引】(1)利用长轴长、离心率求a，c，再求出b.(2)利用与直线l1平行且与椭圆相切的直线求最大值．
【解析】(1)由题意可知2a＝43 ，则a＝23 ， c6
离心率e＝a ＝3 ，则c＝22 ，b2＝a2－c2＝4，
8232
. ，22
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word
x2y2
所以椭圆的标准方程为12 ＋4 ＝1.
(2)由直线l1的方程与椭圆的方程可以设为，直线l1与椭圆不相交，设直线m平行于直线l1， 则直线m的方程可以设为x＋y＋k＝0，
x＋y＋k＝0，
由方程组x2y2消 去y，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0①，
12＋4＝1，
令方程①的根的判别式Δ＝0，得36k2－4×4(3k2－12)＝0②， 解方程②得k1＝4或k2＝－4，
由图可知，当k＝4时，直线m与椭圆的交点到直线l1的距离最远，此时直线m的方程为x＋y＋4＝0，
直线m与直线l1的距离d＝92
最大值为2 .
此时由方程4x2＋6kx＋3k2－12＝0， 即x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3，所以y＝－1. 故点M的坐标是－3，－1 .
关于直线与圆锥曲线相切的问题
(1)直线与圆锥曲线相切与直线与圆锥曲线有一个交点不同，相切是当两个交点重合为一个交点时的情况，而相交于一个交点则是与渐近线、抛物线的对称轴平行时的情况； (2)利用直线与圆锥曲线相切可以求参数的X围、解决距离的最值问题等．
设双曲线Γ的方程为方程．
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x2－
y2
4 l是经过点M(1，1)的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的|4－（－5）|
12＋12
92
＝2 ，所以点M到直线l1：x＋y－5＝0距离的
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