量子力学习题第一部分 量子力学习题第一部分 一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。 二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer 实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark 效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。 三简单证明： 1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。 2. 由薛定谔方程证明几率守恒。 3. 证明定态的叠加不是定态。 4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。 5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。 6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是 解，且对应于同一能级。 7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。 8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动， 则波函数及其一阶导数连续。 9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。 10. 证明坐标和动量的对易关系。 11. 证明角动量间的对易关系。 12. 证明坐标和角动量的对易关系。 13. 证明动量和角动量的对易关系。 14. 证明厄米算符的本征值是实数。 15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符 16. 证明厄米算符的本征值必为实数。 17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简 并的。 18. 证明书中求和规则（两题）。 19. 证明（σ ?A ）(σ ?B ) =B A ?+ i σ ?(B A ?) 20. 证明a 和a + 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的 表示。 四 计算： 1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。 2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。 3. 设一维运动粒子用gauss 波包描述，验证测不准关系。 4．一维自由运动粒子，求波函数。 5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。 6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。 7. 求平面转子的能级和波函数。 8. 求角动量z分量的本征值和本征态。 9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果 给予解释。 10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。 11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。 12. 对正常Zeeman效应，确定体系的守恒量。 13. 对反常Zeeman 效应，确定体系的守恒量。 14. 计及自旋-轨道耦合，确定中心立场中运动粒子的守恒量。 15. 利用周期性边界条件，求自由运动粒子的波函数。 16. 利用不确定关系估算谐振子的基态能量。 17. 证明在离散的能量本征态（束缚态）下，动量平均值为零。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/4712dc2deb7101f69e3143323968011ca300f7d3.html