三角形的中线与面积的三个重要结论
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三角形的中线与面积的三个重要结论 三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题. 一、三角形的中线与面积 1、三角形的一条中线与面积 如图1，AD是三角形ABC的中线，则S三角形ABD=S三角形ACD=1S三角形ABC. 2 证明：因为AD是三角形的中线，所以BD=CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 11×BD×AE,S三角形ACD=×CD×AE，所以S三角形ABD=S三角形ACD， 221所以S三角形ABD=S三角形ACD=S三角形ABC. 2则S三角形ABD=由此得到如下结论： 1、等底同高的两个三角形面积相等. 2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等. 2、三角形的二条中线与面积 如图2，AD，BE是三角形ABC的中线，则①S三角形BDF=S三角形AEF；②S三角形ABF=S四边形CDFE； ③S三角形ABF=S四边形CDFE=2S三角形BDF=2S三角形AEF=1S三角形ABC. 3 证明：因为AD、BE是三角形的中线，所以S三角形ABD=S三角形ACD，S三角形ABE=S三角形BCE， 所以S三角形BDF+S三角形ABF=S三角形AEF+S四边形CDFE---（1），S三角形AEF+S三角形ABF=S三角形BDF+S四边形CDFE——-（2）， （1）—（2）得 S三角形BDF-S三角形AEF=S三角形AEF-S三角形BDF，所以S三角形BDF=S三角形AEF； 因为S三角形BDF+S三角形ABF=S三角形AEF+S四边形CDFE，所以S三角形ABF=S四边形CDFE； 如图2，连接CF，易得S三角形BDF=S三角形CDF=S三角形AEF=S三角形CEF, 所以S三角形ABF=S四边形CDFE=2S三角形BDF=2S三角形AEF=由此得到如下结论： 1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等. 2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍. 3、三角形的三条中线与面积 如图3，AD，BE,CF是三角形ABC的中线，设△BGD的面积为S1,△BGF的面积为S2,△AGF的面积为S3,△AGE的面积为S4,△CGE的面积为S5,△CGD的面积为S6，△ABC的面积为S.则S1=S2=S3=S4=S5=S6=1S三角形ABC. 31S. 6 证明：因为AD是三角形ABC的中线，所以BD=CD，因为三角形ABD和三角形ACD的高相同，所以三角形ABD的面积和三角形ACD的面积相等，即S1+S2+S3=S4+S5+S6. 因为三角形BGD和三角形CGD的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即S1=S6. 所以S2+S3=S4+S5.因为三角形BGF和三角形AGF的高相同，BF=AF，所以11BFhAFh，22其中h是点G到AB的距离，所以S2=S3，同理可证S4=S5，所以2S3=2S4，所以S3=S4， 所以S2=S3=S4=S5，同理可证S1=S2=S3=S6.所以S1=S2=S3=S4=S5=S6.因为三角形ABC的面积为S，所以S1=S2=S3=S4=S5=S6=由此我们得到如下结论： 三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面1S. 6 积的六分之一. 二、结论在解题中的应用 例1 （2015•广东省）如图4，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若三角形ABC的面积为12，则图中阴影部分面积是 . 分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的11，2个就是面积的. 631×12=4. 3解：因为三角形ABC的面积为12，所以阴影部分的面积为例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题： （1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）； （2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？ 分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解. 解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考. (2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 1×84=28（只）羊. 32例3 如图6 所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点， 且SABC=4cm，则S阴影等于________． 解：因为点D是BC的中点，所以SACD1SABD=S21S21=×4=2. ABC21×2=1. 2ED 因为点E是AD的中点，所以SBEDS=ABD所以SEDS1S2=ACD1×2=1. 所以S2=BECBEC=SBED+S=1+1=2,因为点F是EC的中点，所以S=1S21×2=1. 所以S阴影等于1. 2例4 已知三角形ABC的面积为a，请边阅读，边完成问题的解答： 1、如图7，延长BC到D，使得CD=BC，则阴影部分的面积为 . 2、如图8，延长BC到D，使得CD=BC，延长CA到E，使得AE=AC，则阴影部分的面积为 . 3、如图9，延长BC到D，使得CD=BC，延长CA到E，使得AE=AC，延长AB到F，使得AB=FB，则阴影部分的面积为 . 4、如图10，延长BC到D，使得CD=BC，延长CA到E，使得AE=AC，延长AB到F，使得AB=FB，,连接DF，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF的面积是 . 分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答. 解： 1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a； 2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a； 3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a； 4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍. 我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？ 其中一般性的规律是什么？ 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/4858ad3ba11614791711cc7931b765ce05087ade.html