学而思高中题库完整版二项式定理.版块六.二项式定理的应用3近似计算或估计.学生版

时间:2022-07-28 00:48:15 阅读: 最新文章 文档下载
说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。




近似计算或者估计

知识内容





1.二项式定理

⑴二项式定理

ab

n

0n1n12n22nnCnaCnabCnab...CnbnN

这个公式表示的定理叫做二项式定理. ⑵二项式系数、二项式的通项

0n1n12n22nn

CnaCnabCnab...Cnb叫做ab的二项展开式,其中的系数

n

rCnr0,1,2,...,n叫做二项式系数,式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项,Tr1表示,

rnrr

ab 即通项为展开式的第r1项:Tr1Cn

⑶二项式展开式的各项幂指数

二项式ab的展开式项数为n1项,各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n

②字母a的按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零,字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n ⑷几点注意

rnrr

abab的展开式的第r1项,这里r0,1,2,...,n ①通项Tr1Cn

n

n

rnrr

ba是有区别的,②二项式abr1项和ba的展开式的第r1Cn应用二项式

nn

定理时,其中的ab是不能随便交换的.

③注意二项式系数(Cnr)与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数有时可为负.

④通项公式是ab这个标准形式下而言的,如ab的二项展开式的通项公式是

rnrrrnrr

Tr11Cnab(只须把b看成b代入二项式定理)这与Tr1Cnab是不同的,在这

r

n

n

.板块六.二项式定理的应用3近似计算或者估计.题库 1


里对应项的二项式系数是相等的都是Cnr,但项的系数一个是1Cnr,一个是Cnr,可看出,二项式系数与项的系数是不同的概念.

122rrxCnx...Cnx...xn ⑤设a1,bx,则得公式:1x1Cn

n

r

rnrr

abr0,1,2,...,n中含有Tr1,a,b,n,r五个元素, ⑥通项是Tr1Cn

只要知道其中四个即可求第五个元素.

⑦当n不是很大,x比较小时可以用展开式的前几项求(1x)n的近似值.

2.二项式系数的性质

⑴杨辉三角形:

对于n是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可以直接用杨辉三角计算.

杨辉三角有如下规律:“左、右两边斜行各数都是1其余各数都等于它肩上两个数字的和. ⑵二项式系数的性质:

ab

n

012n

,Cn,Cn,...,Cn展开式的二项式系数是:Cn,从函数的角度看Cnr可以看成是r为自

变量的函数fr,其定义域是:0,1,2,3,...,n n6时,fr的图象为下图:



这样我们利用“杨辉三角”n6fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. ①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

mnmCn事实上,这一性质可直接由公式Cn得到.

②增减性与最大值

如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.

.板块六.二项式定理的应用3近似计算或者估计.题库

2


由于展开式各项的二项式系数顺次是 n2nn101

Cn1,Cn,Cn

112

nn1n23

,..., Cn

123

k1Cn

nn1n2...nk2

123....k1

k

Cn

nn1n2...nk2nk1

123...k1k

,...,

n

Cn1

其中,后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数(如n,n1,n2,...),分母是乘以逐次增大的数(如123,…).因为,一个自然数乘以

一个大于1的数则变大,而乘以一个小于1的数则变小,从而当k依次取123,…等值时,Cnr的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间. n是偶数时,n1是奇数,展开式共有n1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为C

n是奇数时,n1是偶数,展开式共有n1项,所以有中间两项. 这两项的二项式系数相等并且最大,最大为C

n1

2n

n2n

C

n12n



012rnCnCn...Cn...Cn2n ③二项式系数的和为2n,即Cn

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即

024135

CnCnCn...CnCnCn...2n1

常见题型有:

求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题.

典例分析



二项式定理的应用3近似计算或估计

5



【例1 计算0.997的近似值(精确到0.001



.板块六.二项式定理的应用3近似计算或者估计.题库 3


本文来源:https://www.wddqw.com/doc/4e890c134935eefdc8d376eeaeaad1f3469311df.html