近似计算或者估计 知识内容 1.二项式定理 ⑴二项式定理 abn0n1n12n22nnCnaCnabCnab...CnbnN 这个公式表示的定理叫做二项式定理. ⑵二项式系数、二项式的通项 0n1n12n22nnCnaCnabCnab...Cnb叫做ab的二项展开式,其中的系数nrCnr0,1,2,...,n叫做二项式系数,式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项,用Tr1表示,rnrrab. 即通项为展开式的第r1项:Tr1Cn⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式ab的展开式项数为n1项,各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n. ②字母a的按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零,字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n. ⑷几点注意 rnrrab是ab的展开式的第r1项,这里r0,1,2,...,n. ①通项Tr1Cnnnrnrrba是有区别的,②二项式ab的r1项和ba的展开式的第r1项Cn应用二项式nn定理时,其中的a和b是不能随便交换的. ③注意二项式系数(Cnr)与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数一定为正,而项的系数有时可为负. ④通项公式是ab这个标准形式下而言的,如ab的二项展开式的通项公式是rnrrrnrrTr11Cnab(只须把b看成b代入二项式定理)这与Tr1Cnab是不同的,在这rnn.板块六.二项式定理的应用3近似计算或者估计.题库 1 里对应项的二项式系数是相等的都是Cnr,但项的系数一个是1Cnr,一个是Cnr,可看出,二项式系数与项的系数是不同的概念. 122rrxCnx...Cnx...xn. ⑤设a1,bx,则得公式:1x1Cnnrrnrrabr0,1,2,...,n中含有Tr1,a,b,n,r五个元素, ⑥通项是Tr1Cn只要知道其中四个即可求第五个元素. ⑦当n不是很大,x比较小时可以用展开式的前几项求(1x)n的近似值. 2.二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形: 对于n是较小的正整数时,可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理,二项式系数也可以直接用杨辉三角计算. 杨辉三角有如下规律:“左、右两边斜行各数都是1.其余各数都等于它肩上两个数字的和.” ⑵二项式系数的性质: abn012n,Cn,Cn,...,Cn展开式的二项式系数是:Cn,从函数的角度看Cnr可以看成是r为自变量的函数fr,其定义域是:0,1,2,3,...,n. 当n6时,fr的图象为下图: 这样我们利用“杨辉三角”和n6时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质. ①对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. mnmCn事实上,这一性质可直接由公式Cn得到. ②增减性与最大值 如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大; 如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大. .板块六.二项式定理的应用3近似计算或者估计.题库 2 由于展开式各项的二项式系数顺次是 n2nn101, Cn1,Cn,Cn112nn1n23,..., Cn123k1Cnnn1n2...nk2123....k1k,Cnnn1n2...nk2nk1123...k1k,..., nCn1. 其中,后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数(如n,n1,n2,...),分母是乘以逐次增大的数(如1,2,3,…).因为,一个自然数乘以一个大于1的数则变大,而乘以一个小于1的数则变小,从而当k依次取1,2,3,…等值时,Cnr的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间. 当n是偶数时,n1是奇数,展开式共有n1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为C. 当n是奇数时,n1是偶数,展开式共有n1项,所以有中间两项. 这两项的二项式系数相等并且最大,最大为Cn12nn2nCn12n. 012rnCnCn...Cn...Cn2n. ③二项式系数的和为2n,即Cn④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 024135CnCnCn...CnCnCn...2n1. 常见题型有: 求展开式的某些特定项、项数、系数,二项式定理的逆用,赋值用,简单的组合数式问题. 典例分析 二项式定理的应用3近似计算或估计 5 【例1】 计算0.997的近似值(精确到0.001). .板块六.二项式定理的应用3近似计算或者估计.题库 3 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/4e890c134935eefdc8d376eeaeaad1f3469311df.html