课题：二次函数图像中直角三角形的存在性问题 一、 教学目标 1、 掌握求二次函数表达式的方法。 2、掌握判断直角三角形可以从边和角两个角度入手。 3、掌握二次函数与直角三角形结合的动点问题的解决方法。 二、重、难点 重点：线段的表示与分类讨论 难点：分类讨论 三、教学过程 情境创设： 存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多，难度较大，也是学生比较荆手的问题，但它也是有解题方法可循的。比如我们本节课将复习的直角三角形存在性问题，就可利用坐标系中两点的距离公式，正确得到所求三角形三边长的平方的代数式；根据勾股定理的逆定理得到方程，并解方程即可。 知识梳理： 1、二次函数的表达式有哪些？ 一般式： 对轴称为 顶点坐标（ ， ） 项点式： 对轴称为 顶点坐标（ ， ） 交点（两根）式： 对轴称为 顶点坐标（ ， ） （设计意图：让学生能根据所给条件选用恰当的表达式求二次函数解析式） 2、直角三角形的判定方法有哪些？ （设计意图：让学生知道判断一个三角形是直角三角形可从边和角两个角度入手，重点是对勾股定理逆定理的运用） 3、已知点P(x,y)，则点P到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 。 （设计意图：让学生知道点的坐标的实际意义） 4、两点间的距离公式：用A，B两点的坐标来表示线段AB的长。 示该两点的线段长） （设计意图：让学生知道用两点坐标来表 y B( x2,y2) A( x1,y1) o x 习题展示： 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过点B、C两点，抛物线的顶点为D。 （1）求此抛物线和直线l的解析式； 思路分析：将B（3，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c中，得关于b，c 的二元一次方程组，解出b，c的值，从而得到抛物线的解析式；设y=kx+z,将B（3，0），C（0，3）代入y=kx+z，思路分析：判断三角形形状可考虑从边和角得关于k，z的二元一次方程组，解出k，z的值，两个角度入手，但结合本题从边上着手较简单，从而得到直线l的解析式。 分别求出三角形的三边长，如果有两边相等，则三等形是等腰三角形；如果三边相等，则三角形是等边三角形；如果没有相等的边，则考虑使用勾股定理验证三角形是否为直角三角形。 y C D A O B x （2）判断ΔBCD的形状并说明理由； y （3）如图，在抛物线的对称轴上求点P，使ΔPBC为直角三角形； 思路分析：由B（3，0），C（0，3）的坐D C 标，求出 BC的长度；点p在抛物线的对称轴上， 设P（1，t），根据两点间的距离公式，用t表 示PC，PB的长，若ΔPBC为直角三角形，分情 A 况讨论边的关系：①PC为斜边②PB为斜边③BC O B 为斜边，根据勾股定理的逆定理列出方程求t， 从而得p的坐标。 思考题： 如图，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P，使ΔPDC为等腰三角形。若存在，请求出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由； x y L D C A O B 思路分析：（一）由C、D两点的坐标可求出CD的长，设点P的横坐标为x，用x表示出PD、PC，因题目中未说明ΔPDC哪个角是顶角，故分： ①当∠D是顶角，根据抛物线的对称性，P的纵坐标应该等于C的纵坐标，即可求出P点的坐标。 ②当∠DCP是顶角，因为点D在抛物线的对称轴上，所以抛物线上对称轴右侧的点到点C的距离一定大于CD，因此这种情况在对称轴的右侧不存在满足条件的P 点。 ③∠P是顶角，根据PC=PD列出方程求解即可，结果要舍去P在对称轴左侧的情况。 （二）设点P的坐标为（x，y），由D（1，4），C（0，3）的坐标，求出 DC的长度；根据两点间的距离公式，用x，y表示出PC，PD的长，根据勾股定理的逆定理列出方程，从而得p的坐标。 课堂小结： 1、对自己说，本节课你学到了什么？ 2、对同学说，你有哪些温馨的提示？ 3、对老师说，本节课你还有哪些困惑？ 作 业： 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．设抛物线的顶点为D，连结CD、DB、AC． （1）求此抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC的面积； （3）设Q是抛物线上一点，连结BC、QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/57c876ab01d276a20029bd64783e0912a3167c74.html