3.3.1 函数的单调性与导数 【教学目标】 1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性； 2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况. 【教学重点】 会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况 【教学难点】 利用导数求函数单调区间 【活动设计】 问题与活动 1.复习回忆 函数单调性的定义 研究函数的单调区间的方法 判断抽象函数的单调性 2.创设情境 〔1〕确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 〔2〕观察教材图3.3-1(1)表示高台跳水运发动的高度 h 随时间 t 变化的函数设计意图 熟悉并稳固判断函数单调性的定义与方法 产生认知冲突 师生活动 师：引导学生回忆判断函数单调性的定义与方法 生：填空，熟悉判断函数单调性的定义与方法. 师：用已学得方法能否解决？ 生：思考，寻求一个新的方法来解决 师：引导学生将函数单调性变化与导数的符号变化相结合 生：①运发动从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地,v(t)h(t)0. ②从最高点到入水,运发动离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, v(t)h(t)0. 启发学生由特殊的函数图象获取h(t)4.9t26.5t10的图象和图函数单调性的感性认识. 3.3-1(2)表示高台跳水运发动的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)4.9t6.5 的图象. 你能说出运发动从起跳到最高点, 以及 从最高点到入水这两段时间的运动状态 有什么区别? 〔3〕 对于给定区间D内任意两个自变量的值 fxfx1x1，x2，假设函2数f(x)满0足 ， x2x1 则函数在给定区间D上为增函数。 启发学生猜想，更加直观的获取函数的平均变化率与函数的单调性的关系. f(x2)f(x1)yf(x2)f(x1) 可把看作x2x1xx2x1，你能 发现函数的平均变化率与函数的单调性有什么关系？ 师：引导学生将函数平均变化率与函数单调性变化相结合 〔3〕观察教材图3.3-2和图3.3-3中的函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 启发学生探究分析得到函数的单调性与其导函数正负的关系，由特殊到一般，有感性认识上升到理性认识. 由导函数符号反推函数单调性，进而画出大致图象. 师生一起探究辨析得出结论： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系 在某个区间(a,b)内, 如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增; 如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减. 师：特别指出：如果恒有f'(x)0，则f(x)是常数. 师生共同探究，由学生动手画出函数大致图象. 3.例题精讲 例1 导函数f(x) 的以下信息: 当1 < x < 4 时, f(x)0; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f(x)0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f(x)0. 试画出函数f(x)的图象的大致形状. 例2判断以下函数的单调性, 并求出单调通过对问题〔1〕、教师示范引导，学生动手、体〔2〕的研究，可会，练习由学生单独完成，教区间: 以让学生发现：当师加以指导. 32(1) f(x)x3x; (2) f(x)x2x3; f(x)f(x)0时，为增函数；当 f(x)0时，(3) f(x)sinxx,x(0,); f(x)为减函数，并作出相应的猜想.通过(4) f(x)2x33x224x1. 对问题〔3〕、〔4〕 的研究，可以进一练习：判断以下函数的单调性, 并求出单步说明这种猜想是正确的. 调区间: 2x(1) f(x)x2x4; (2) f(x)ex; 练习起到稳固和熟练的作用. (3) f(x)3xx3; (4) f(x)x3x2x. 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/57e76be2b90d4a7302768e9951e79b896802684c.html