导数与函数单调性的关系 教材中导数的应用之一为判断函数的单调性。若函数yf(x)在某个区间I上可导(对于区间端点,只要求它存在左(或右)导数)则称f(x)为区间I上的可导函数。那么区间I上的可导函数与函数单调性有什么关系呢? 一、 f'(x)0(或f'(x)0)是yf(x)在某个区间I上为增(或减)函数的充分不必要条件 设函数yf(x)在某个区间I上可导,如果f'(x)0,则f(x)为增函数;如果(参考书目(1)第127页) f'(x)0,则f(x)为减函数。但当yf(x)在某个区间I上为增(或减)函数时,并不能得到f'(x)0(或。例如:yf(x)x3在(,)上单调递增,但f'(x)3x20。即f'(x)0)f'(x)0(或f'(x)0)是yf(x)在某个区间I上为增(或减)函数的充分不必要条件。 二、若函数yf(x)为区间(a,b)内的可导函数,则f'(x)0(或f'(x)0)是yf(x)在区间(a,b)内为增(或减)函数的必要不充分条件。 证明:设x为区间(a,b)内任一点,当x充分小时仍有xx(a,b),由于yf(x)在区间(a,b)内为增函数,所以f(xx)f(x)0,即f'(x)0。 x'但f(x)0时,yf(x)在区间(a,b)内不一定为增函数。 0(xb)'例如:f(x)则f(x)0但f(x)在(,)上不是增函数。 2(xb)(xb)三、 函数yf(x)在某个区间I上可导,则yf(x)在区间I上为增(或减)函数的充要条件为: ''(1)对一切xI都有f(x)0(或f(x)0) '(2)使得f(x)0的点x不连续。 证明见参考书目(2)第187页。 值得注意的是单调函数可以在无穷多个点处使得f(x)0。 '例如:f(x)sin(xk)2k x[k当xk,kZ时f'(x)0。 2,k2) kZ在R上单调递增,有了前面的充要条件,我们来解答2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学19题:已知函数f(x)ax33x2x1在R上单调递减,求实数a的取值范围。 解: f'(x)3ax26x1, 令f'(x)0在R上恒成立得解得a3, a0 3612a0a3'当且仅当1时f(x)0, x3实数a的取值范围是(,3]。 参考书目: (1)《数学》第三册(选修Ⅱ) 人民教育出版社中学数学室 编著 人民教育出版社出版。 (2)《数学分析》上册 华东师范大学数学系 编 高等教育出版社出版。 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/9ed46aeb856a561252d36ff3.html