福州金山中学2015-2016学年市级教学公开周（2016.3.14-3.18） 主题：基于数据的信息化教学模式与方法研究 高二数学《1.3.1函数的单调性与导数》教学设计 林继枫 【教材分析】 本课是人教版《选修2—2》第一章第1.3节中第1.3.1小节的内容，主要学习如何利用导数研究函数的单调性。 在《数学1》与《数学4》中，学生已经学习了函数，知道函数是描述客观事物变化规律的重要数学模型，函数的单调性是描述函数变化规律的重要性质之一， 函数单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段，在初中以具体函数为载体，从图形上直观感知单调性；第二阶段，在高中的《数学1》中，用运算的性质研究单调性；第三阶段，就是在本节课中，用导数的性质研究单调性。本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。 由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比定义判断简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展现了导数解决问题的优越性。 同时，用导数方法研究函数的单调性是高等数学在高中教科书中的一点体现，所以学习用导数判断函数的单调性，在初高等数学的学习中起着承上启下的作用，这也决定了其在高考中占有举足轻重的地位。 【学情分析】 在学习本课之前，通过《数学1》的学习，学生已掌握了根据定义判断函数的单调性。但由于本节课所研究的函数并不是局限于像之前的一次和二次函数那样简单，能够直接利用定义或画图直接得到函数的单调区间。对学生而言，本节内容所涉及的导数思想研究数学问题是学生首次接触，求解的程序应该如何开展？为什么要这样做？是本节课的难点，尤其学生对导数是研究函数的性质的工具认识不足（即导数到底有什么用还不知道），因此本课的教学有一定的挑战性。 从学生的知能状况来看，学生在本课之前已学习有关导数的基础知识，较好的掌握了导数的概念与运算，对导数的意义有了较深刻的认识，在知识储备上已具备学习本节课程的条件。虽然我们学生的基础知识不扎实、动手画图的能力较差，但对数学的学习还是比较重视，也肯学。 从本课的学习内容来看，学生起初可能会对利用导数思想研究数学问题不容易接受，同时本课中所涉及的函数类型对学生来说比较陌生，通过函数图像的分析及教师适时的引导，学生会很快喜欢上利用导数去求函数的单调性。 基于以上的分析，学生已具备学习本节课的条件。 【教学目标】 1、通过观察函数图象上每一点处切线的斜率的变化情况，体会利用导数判断函数单调性的原理；了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间； 2、 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。通过实例的解决初步熟悉应用导数解决单调性问题的步骤，感受数形结合思想的重要性，掌握用导数研究函数单调性的方法；并会求已知函数的单调性，求参数的取值范围。 4、通过实例探究函数的单调性与导数的关系，体会数形结合思想和极限思想，培养合情推理的能力，并通过这一过程，提高理性思维的能力。 【教学重难点】 教学重点：探索研究函数的单调性与其导数的关系，深化对单调性的理解；能利用导数求函数单调区间及其应用。 福州金山中学2015-2016学年市级教学公开周（2016.3.14-3.18） 主题：基于数据的信息化教学模式与方法研究 教学难点：函数单调性与导数正负关系的探究过程；理解导数符号是判断函数单调性的充分条件。 【教学过程】 教学过程 教师活动 学生活动 智慧课堂应用 从身边的例子导入，激发学生的学生通过思考，得出：石 兴趣。问题1 同学们，当我们头从抛出到最高点，高度 把手中的石头向空中竖直上抛随时间t增加而增加，速 后，在抛出到落地这段时间内，度向上；当石头从最高点 石头相对于地面的高度有什么下落时，高度随时间t的 变化，石头的速度有什么变化？ 增加而减小，速度向下。 问题2 跳水运动中高度h随时学生观察图象，并得出： 间t变化的函数解析式为：（1）运动员从起跳到最 h(t)4.9t26.5t10； 高点，离水面的高度h随 高台跳水运动员的速度v随时时间t的增加而增加，作 间t变化的函数解析式为：匀减速运动； 白板功能 v(t)h'(t)9.8t6.5，运动（2）从最高点到入水，批注功能 一、情景引员从起跳到最高点，以及从最高运动员离水面的高度入，获得猜点到入水这两段时间内的高度h想 h及速度v的正负与时间t各有随时间t的增加而减少，什么关系？ 作匀加速运动； 教师继续引导学生观察图象，并通过观察图象，可以发 思考：函数h t的图象，速度v现：运动员从起跳到最高 的正负和函数ht的单调性有点，速度vt为正值，函 何关系？ 数ht为增函数；从最高白板功能 点到入水，速度vt为负 值，函数ht为减函数。 据此你能猜想一般函数的单调猜想：在某个区间内，若 性与其导数的符号之间有什么f'x0，那么 关系吗？ yfx在此区间上是 增函数；若f'x0， 那么yfx在此区间 上是减函数。 教学过程 教师活动 学生活动 智慧课堂应用 问题3 上述猜想是否具有一在A、B两点处切线的倾 般性呢？在问题2的高度h与时斜角为锐角，斜率大于 间t的函数图象中，做出A、B、零；在C、D两点处切线白板功能 C、D四点处的切线，观察所作的倾斜角为钝角，斜率小 切线的斜率有什么规律？ 于零； 根据导数的几何意义，在这些点（1）函数在某点处的斜 处，切线斜率与函数的变化趋势率大于零，切线是“左下 有什么关系？ 右上”，相应的函数图象 单调递增； （2）函数在某点处的斜白板功能 率小于零，切线是“左上 右下”，相应的函数图象 单调递减。 教师提出问题： 学生展开讨论。并借助几 二、验证猜问题4 类比上述研究方法，何画板演示功能，直观感想，得出结将问题3中的点改成任意点，又受问题3中得到的结论具论 有什么结论？ 有一般性。 教师继续提出问题： 学生通过观察这些函数 问题5 如图，针对一次函数、图象及其导函数的图像， 二次函数、三次函数、反比例函并填表，探讨函数的单调批注功能 数，你刚才得到的结论还成立性与导数正负的关系，得吗？ 到刚才的结论成立。 问题6 总结上述探究活动，你学生通过思考得出：即一 能概括出针对某个区间a,b内般的，函数的单调性与其的一般函数fx，导数符号与导数的正负关系：在某个函数的单调性的关系吗？ 区间a,b内，如果 f'x0，那么函数yfx在这个区间内单调递增；如果f'x0，那么函数yfx在这个区间内单调递减。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/51708eafde3383c4bb4cf7ec4afe04a1b071b045.html