★二次函数知识点汇总★ 1.定义:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常数,a0),那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数yax2的性质 (a0)(1)抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系. ①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 224.二次函数yaxbxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中b4acb2. h,k2a4a5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ①yax2;②yax2k;③yaxh2;④yaxh2k;⑤yax2bxc. 6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向: 当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地,y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 b4acb2b4acb22(,)(1)公式法:yaxbxcax,∴顶点是,对称2a4a4a2ab轴是直线x. 2a2(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式,得到顶点为(h,k),对称轴是xh. (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★ 9.抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用 (1)a决定开口方向及开口大小,这与yax2中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故: 2aa2①b0时,对称轴为y轴;②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧; ③ba0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. (3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置. - 1 - / 3 当x0时,yc,∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0, c):①c0,抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则 b0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 x0(y轴) yax2 x0(y轴) yax2k 当a0时 开口向上 2yaxhk 当a0时 开口向下 yax2bxc 2yaxh 顶点坐标 (0,0) (0, k) (h,0) (h,k) b4acb2(,) 2a4axh xh bx 2a11.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式:yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. (2)顶点式:yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式:yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c) (2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc). (3)抛物线与x轴的交点 二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应一元二次方程 ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定: ①有两个交点0抛物线与x轴相交; ②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切; ③没有交点0抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,则横坐标是ax2bxck的两个实数根. (5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点,由方程组 ykxn的解的数目来确定: 2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点;③方程组无解时l与G- 2 - / 3 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/58f6360bf505cc1755270722192e453611665b4a.html