二次函数公式(精华)
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★二次函数知识点汇总★ 1.定义：一般地，如果y =ax2 + bx + c(a, b, c是常数， a 0) ，那么y叫做x的二次函数. 2.二次函数y = ax2的性质 (1)抛物线y = ax2(a 0)的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y = ax 2的图像与a的符号 关系. ① 当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a 0时抛物线开口向下顶点为 其最高点 3.二次函数 y = ax2 + bx + c的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线. 4. 二次函数y = ax2 + bx + c 用 配 方 法 可 化成 ： y=a(x-h)2+k 的形式，其中 b h = - ，k = 2a 4a 4 ac - b 2 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①y=ax2；②y=ax2 +k；③y=a(x-h)2；④y=a(x-h)2+k；⑤y=ax2 +bx+c. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向： 当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ② 平行于y轴(或重合)的直线记作x = h .特别地， y轴记作直线x =0. 7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口 方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1) 公式法： y = ax2 + bx + c = ab x =- . 2a x + b ，∴顶点是(- b ，4ac - b )，对称轴是直线 2 a 4 a 2 a 4 a +4ac-b(2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y=a(x-h)2 + k的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴 是x = h . (3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的 垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线 y = ax2 +bx+c 中，a,b,c的作用 (1) a决定开口方向及开口大小，这与y = ax 2中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y = ax2 + bx + c的对称轴是直线x = - b ,故： 2a ①b = 0时，对称轴为y轴；② b a a 0 (即a 、b同号)时,对称轴在y轴左侧； ③ b 0(即a 、b异号)时,对称轴在y 轴右侧. (3)c的大小决定抛物线y = ax2 + bx + c与y轴交点的位置. 当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax2 + bx + c与y轴有且只有一个交点(0， c )： ①c = 0 ，抛物线经过原点; ②c 0 ,与y轴交于正半轴；③ c 0 ,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b 0. a 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 第- 1 -页 共3页 顶点坐标 y = ax 2 y = ax 2 + k y = a ( x - h )2 x = 0( y 轴) x = 0( y 轴) (0,0) (0, k ) (h,0) (h,k) 当a 0时 开口向x=h 上 当a 0时 开y = a( x - h )2 + k 口向下 x=h 2y = ax + bx + c 11. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式： y = ax2 + bx + c .已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式. (2) 顶点式： y = a(x - h)2 + k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、 x2 ，通常选用交点式： y =a(x-x1)(x-x2). 12. 直线与抛物线的交点 (1) y 轴与抛物线 y = ax2 +bx+c得交点为(0,c ) (2)与y轴平行的直线x = h与抛物线y = ax 2 + bx + c有且只有一个交点( h , ah 2 +bh+c). (3) 抛物线与x 轴的交点 二次函数 y = ax2 + bx + c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1 、x2 ，是对应一元二次方程 ax2 +bx+c = 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判 别式判定： ①有两个交点 0 抛物线与x轴相交； ②有一个交点(顶点在x轴上) =0抛物线与x轴相切； ③没有交点 0 抛物线与x轴相离. (4) 平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有 0个交点、1个交点、2个交点.当有2 个交点时，两交点的纵坐标相等， 设纵坐标为k ，则横坐标是ax 2 + bx + c = k的两个实数根. (5)一次函数y = kx+ n(k 0)的图像l与二次函数y = ax2 + bx + c(a 0)的图像G的交点，由方 程组 y =kx+n 的解的数目来确定： y = ax2 +bx+c b x=- 2a b 4ac - b 2 ( - ， ) 2a 4a ①方程组有两组不同的解时 l与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时 l与G只有一个交点；③方程组无解时 l与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线 y=ax2+bx+c与x轴两交点为 bc A(x1，0)，B(x2，0)，由于x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，故 x1+x2=- ,x1x2 = 4c b 2 - 4ac a a a 13．二次函数与一元二次方程的关系： (1)一元二次方程y = ax2 + bx + c就是二次函数y = ax2 + bx + c当函数y的值为0时的情况． (2)二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数y = ax2 + bx + c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y = 0 时自变量x的值，即一元二次方程ax2 +bx+c=0的根． 第- 2 -页 共3页 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/3b3e5f604b649b6648d7c1c708a1284ac950053d.html