定义 由函数yf(u)和ug(x)所构成的函数yf[g(x)]称为复合函数，其中yf(u)通常称为外层函数，ug(x)称为内层函数。 求上述复合函数yf[g(x)]的单调区间，我们一般可以按照下面这几个步骤来进行： （1） 写出构成原复合函数的外层函数yf(u)和内层函数ug(x)； （2） 求外层函数yf(u)的单调区间（包括增区间和减区间）A、B等； （3） 令内层函数ug(x)A，求出x的取值范围M； （4） 若集合M是内层函数ug(x)的一个单调区间，则M便是原复合函数若M不是内层函数ug(x)的一个单调区间，则需把M划yf[g(x)]的一个单调区间；分成内层函数ug(x)的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数yf[g(x)]的单调区间； （5） 根据复合函数“同增异减”的复合原则，分别指出原复合函数yf[g(x)]在集合M或这些单调子区间的增减性； （6） 令内层函数ug(x)B，同理，重复上述（3）、（4）、（5）步骤。若外层函数yf(u)还有更多的单调区间C、D，则同步骤（6）类似，不断地重复上述步骤。 （7） 设单调函数yf(x)为外层函数，yg(x)为内层函数 （8） (1) 若yf(x)增，yg(x)增，则yf(g(x))增. （9） (2) 若yf(x)增，yg(x)减，则yf(g(x))减. （10） (3) 若yf(x)减，yg(x)减，则yf(g(x))增. （11） (4) 若yf(x)减，yg(x)增，则yf(g(x))减. （12） 结论：同曾异减 （13） 例1. 求函数f(x)2x（14） 解题过程： （15） 外层函数：y2 2（16） 内层函数：txx2 2x2的单调区间. t1（17） 内层函数的单调增区间：x[,] 21（18） 内层函数的单调减区间：x[,] 2（19） 由于外层函数为增函数 y1（20） 所以，复合函数的增区间为：x[,] 21（21） 复合函数的减区间为： x[,] 22（22） 求函数ylog1(32xx)的单调区间. 212x 2（23） 解 原函数是由外层函数ylog1u和内层函数u32xx复合而成的； 2（24） 易知(0,)是外层函数ylog1u的单调减区间； 22（25） 令u32xx0，解得x的取值范围为(3,1)； （26） 解题过程： （27） 外层函数：ylog2t （28） 内层函数：tx2x2 （29） tx2x20 （30） 由图知： （31） 内层函数的单调增区间：x[1,] （32） 内层函数的单调减区间：x[,2] （33） 由于外层函数为增函数 （34） 所以，复合函数的增区间为：x[1,] （35） 复合函数的减区间为：x[,2] y2o1u32xx2x结合二次函数的图象可知(3,1)不是内层函数的一个单调区间，但可以把区间(3,1)划分成内层函数的两个单调子区间(3,1]和[1,1)，其中(3,1]是其单调增区间，[1,1)是其单调减区间； 于是由复合函数“同增异减”的复合原则可知，(3,1]是原函数的单调减区间，[1,1)是原函数的单调增区间。 例2.求函数f(x)log2(x2x2)的单调区间. 解题过程： 外层函数：ylog2t 2内层函数：txx2 ytx2x20 由图知： 内层函数的单调增区间：x[1,] 内层函数的单调减区间：x[,2] 由于外层函数为增函数 所以，复合函数的增区间为：x[1,] 复合函数的减区间为：x[,2] 2o1x 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/599b85a0d3d233d4b14e852458fb770bf78a3b66.html