2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 沿河民族中学数学组 阚辉 一、教材分析 在学习实数与向量的积的基础上,教材从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的重要性质。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。 二、学情分析和教学设想 在这节课之前已经学习了实数与向量的积的运算。善于探究的学生会想到向量与向量的积如何运算?强烈的求知欲使得学生对这一节的学习不会感到生疏。本节课是围绕物理中物体做功,引入数量积的概念和几何意义。根据诱思探究教学论和新课程改革的目标,教学方案从两方面加以设计:一是数量积的概念;二是几何意义和重要性质。通过本节探究性学习,抓住知识之间的逻辑关系,让学生尝试数学研究的过程。 三、教学目标 1.知识与技能: (1)掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义; (2)使学生了解向量的数量积的重要性质。 2.过程与方法: (1)通过向量数量积物力背景的了解,体会物理学和数学的关系; (2)通过向量数量积定义的给出,体会简单归纳与严谨定义的区别; (3)通过向量数量积的学习,体会类比,猜想,证明的探索式学习方法。 3.情感、态度与价值观: 激发学生兴趣,注重学生能力的培养,抓住知识之间的逻辑关系,培养学生的自主、合作、探究的能力,探索得成果,研究获得本质。利用多媒体课件为辅助手段,调动学生参与课堂的主动性和积极性。 四、教学重点、难点 重点:平面向量数量积的定义 难点:数量积的重要性质 五、教学方法: 探究式教学,提出问题,创设情境,引导学生参与教学过程 六、教学过程: 教学环节 课题引入 教学内容 以物理学中的做功为背景引入 问题:观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量?什么影响功的大小?如何精确给出数学中的定义? 力做的功:W = |F||s|cos, 是F与s的夹角 师生互动 设计意图 教师提出问题,学生思考 由旧知识引出新内容;同时联系物理学和数学,理解具体和一般的关系 b a 问题:给一个精确定义 问题:定义向量的一种乘积运算,使得做功公式符合这种运算 一、两个非零向量夹角的概念 已知非零向量a与b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角 教师引导学生, 注意: 1.两向量必须同起点; 2.的取值范围; 让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性。 说明:(1)当θ=0时,a与b同向; 定义(2)当θ=π时,a与b反向; 形成 (3)当θ=2时,a与b垂直,记a⊥b; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围为0≤≤180 C 二、平面向量数量积(内积)的定义: 已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有ab = |a||b|cos,(0≤θ≤π),规定0与任何向量的数量积为0 三、向量投影的定义: 作图 定义:|b|cos叫做向量b在a所方向上的投影 投影也是一个数量,不是向量;当为锐角时投影为正值;当为钝角时投影为负值;当为直角时正射影为0;当 = 0时投影为|b|;当 = 180时投影为|b| 3.数量积的定义公式形式; 4.注意特殊向量零向量。 学生主导发现问题,教师引导提出和解决问题。 注意:投影是可正可负可为零的。 教学中,学生不太容易理解的,也不经常用到的概念,变作例题形式有利于加深印象 问题:根据向量数量积的定义进行变形分析,总结性质(考虑特 殊情况) 结论:两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量 定义1、ea = ae =|a|cos 2、ab ab = 0 深化 3、 aa = |a|2或|a|aa 4、cos =ab|a||b|5、|ab| ≤ |a||b| 例1、 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角是120o,求a·b 例2、 已知a1,b2;(1)a//b,求ab;(2)34,求ab; 应用练习1、已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b 举例 ③a与b的夹角是60°时,分别求a·b 练习2、判断正确与错误 1.若a=0,则对任一向量b,有a·b =0;2.若a≠0,则对任一非零向量b,有a·b≠0;3.若a≠0,a·b=0,则b=0;4.若a·b=0,则a·b中至少有一个为0;5.若a≠0,a·b= b·c,则a=c;6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a= 0 时成立;7.对任意向量 a有a2|a|2 练习:P106 练习1.2.3(分组做) 七、课堂小结 1.平面向量的数量积的定义、性质及相关注意事项; 2.向量投影的定义; 3.平面向量的数量积的重要性质。 八、作业: P108 习题A组---1、2 学生自己回顾、探索、根据已有知识得到问题的答案 学生自己动手简单应用以及总结数量积的运算规律(类比多项式的运算) 养成学生自己动脑、动手探索总结的习惯 让学生由理论到实际操作,逐步熟悉、深入 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/83e6b82dcf1755270722192e453610661ed95a10.html