第二章 数学中的分类、类比与归纳 一、数学中的分类与类比 1、数学中的分类。 课改以来的一个共识：数学课应当很好体现数学课所应当具有的“数学味”。究竟什么是所说的“数学味”？什么是数学中的分类？数学中又为什么要进行分类？ 分类应当具有明确的目的性。第一，归类：数学抽象的直接基础；第二，不同类别的区分：由简到繁、由特殊到一般地去开展研究。分类问题也需要优化。（用数学家的眼光去看待世界、分析问题、解决问题。）学会数学思维的又一重要内涵：思维的必要优化。 在数学抽象中我们关注的只是对象的量性特征（数量关系和空间形式），当然实际分类中学生会直观地考虑对象的质性特征（颜色、大小、形状„„），教学中不应停留于“同等地”去肯定各种可能的分类方法，需作出必要的“优化”，也就是需要帮助学生逐步学会用“数学家的眼光”看待世界、分析问题（数学地思维） 适当的‘分类’事实上应被看成数学抽象的一个必要基础。‘分类’教学事实上也可被看成应当如何去处理“多样化”与“优化”关系的一个例子。分类应当具有明确的目的性，不应为分类二分类，更不应当刻意追求“与众不同”。分类是为了建立一定的序。 2、集合思想 创始者是：德国数学家康托。 所谓集合，是指把确定的、彼此可以区分的具体的或想象的对象看成一个整体。 3、数学中的比较与类比 类比在数学中一个重要作用，就是通过两个对象的比较由已获得的知识去引出新的猜测。数学中类比联想的关键：求同存异！ 为了应用类比，我们并不需要相关的对象在所有各个方面都完全一样，而只要求在这两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的，这就是所谓“求同”，也即如何能在抽象分析的基础上找出两个对象的“类似之处”。所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是，在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，也即必须依据对象的具体情况作出适当的“调正”。 相对于归类与分类而言，类比联想是一种更为高级的思维形式。文中例举了很多例子（看不懂），但从作者的表述中我们可以发现其实这里的类比的策略类似于新教材六年级转化的策略，见50页表述：面对一个需要解决的问题，为了找到可能的解决方法，我们经常可以首先考虑另一和它相类似、但已经得到解决的或较容易解决的问题，从而就可通过类比获得关于如何求解现在问题的有益启示。波利亚指出：选出一个类似的、较易的问题，去解决它，改造它的解法，以便他可以用作一个模式。然后，利用刚刚建立的模式，以达到原来问题的解决。这种方法在外人看来似乎在迂回绕圈子，但在数学上或数学以外的科学研究中是常用的。（类比出来的在证明之前仅仅只是猜想） 二、数学中的归纳 （一）、由特殊到一般。 类比——由此及彼，求同存异；归纳——特殊到一般，求同。 1、从归纳的角度看，类比可以看成是从一个特例过渡到另一个特例，由于普遍往往是由大量的特例构成的，因此，我们往往可以类比为基础进行归纳。 2、在很多情况下观察与实验构成了归纳的直接基础。 （二）、由猜想到证明。 1、除非已经得到了严格的证明，否则由归纳所得的结论都只是猜想。 2、猜想与证明并不被看成互不相干的两个环节，恰恰相反，在两者之间存在着十分重要的联系。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/674b04745727a5e9856a6157.html