分式方程及其解法 公开课教案

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93 分式方程

1课时 分式方程及其解法



1.了解分式方程的概念;(重点)

2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,知道转化的思想方法在解分式方程中的应用;(重点)

3.了解增根的概念,会检验一个数是不是分式方程的增根,会根据增根求方程中字母的值.(难点)



一、情境导入 1.什么是方程?

2.什么是一元一次方程?

3.解一元一次方程的一般步骤是什么?

我们今天将学习另外一种方程——分式方程.二、合作探究

探究点一:分式方程的概念

下列方程是分式方程的是( ) 23A. x1x123

B.x1x2 321

C.x2x1 22D. x3

解析:根据分式方程的定义,分母含有未知数的方程是分式方程,BC选项是整式方程,D选项是分式,只有A选项分母含有未知数,并且是方程.故选A.

方法总结:判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数,如果分母中含有未知数就是分式方程,分母中不含未知数就不是分式方程.

探究点二:分式方程的解法 【类型一】 解分式方程

解方程:

1x571

(1) (2)3. xx2x22x

解析:分式方程两边同乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解,注意验根. 解:(1)方程两边同乘x(x2),得5(x2)7x5x107x2x=-10,解得x=-5.




检验:把x=-5代入最简公分母,得x(x2)0,∴x=-5是原方程的解;

(2)方程两边同乘最简公分母(x2),得1x13(x2),解得x2.检验:把x2入最简公分母,得x20,∴原方程无解.

方法总结:解分式方程的步骤:去分母;解整式方程;检验;写出方程的解.意检验有两种方法,一是代入原方程,二是代入去分母时乘的最简公分母,一般是代入公分母检验.

【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围

2xa

关于x的方程1的解是正数,则a的取值范围是____________

x1

2xa

解析:去分母得2xax1解得x=-a1∵关于x的方程1的解是正数,

x1x0x1,∴-a10且-a11,解得a<-1a2,∴a的取值范围是a<-1a2.

方法总结:求出方程的解(用未知字母表示),然后根据解的正负性,列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为0.

探究点三:分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根

3a4

若方程有增根,则增根可能为( )

x2xxx2

A0 B2 C02 D1

解析:最简公分母是x(x2),方程有增根,则x(x2)0,∴x0x2.去分母得3xa(x2)4,当x0时,2a4a2;当x2时,64不成立,∴增根只能为x0.故选A.

方法总结:增根是使分式方程的分母为0的根.所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0;注意应舍去不合题意的解.

【类型二】 分式方程有增根,求字母的值

2m

如果关于x的分式方程1有增根,则m的值为( )

x3x3

A.-3 B.-2

C.-1 D3

解析:方程两边同乘以x3,得2x3m.原方程有增根,∴x30,即x3.x3代入,得m=-2.故选B.

方法总结:增根问题可按如下步骤进行:让最简公分母为0确定增根;化分式方程为整式方程;把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

【类型三】 分式方程无解,求字母的值

2mx3

若关于x的分式方程2无解,求m的值.

x2x4x2

解析:先把分式方程化为整式方程,再分两种情况讨论求解:一元一次方程无解与分式方程有增根.

解:方程两边都乘以(x2)(x2)2(x2)mx3(x2)(m1)x=-10.①当m10时,此方程无解,此时m1;②方程有增根,则x2x=-2,当x2时,代入(m1)x=-10(m1)×2=-10m=-4x=-2时,代入(m1)x=-10(m1)×(2)=-10,解得m6,∴m的值是1,-46.

方法总结:分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的.分式方程有增根




仅仅针对使最简公分母为0的数,分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数,而且还包括分式方程化为整式方程后,使整式方程无解的数.

三、板书设计

1.分式方程的概念 2.分式方程的解法 3.分式方程的增根



这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法,从而归纳出分式方程的基本解题步骤.在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验,要让学生理解增根的由来,从而牢记分式方程在解题后要进行检验,避免解题出错.在完成解题步骤归纳之后,通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法,让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方,防止犯错


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