高中数学 2.4 空间直角坐标系 2.4.2 空间两点的距离公式教案 新人教B版必修2-新人教B版高
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word 空间两点的距离公式 示X教案 整体设计 教学分析 教材类比平面上两点间距离公式得到空间两点间的距离公式，值得注意的是在教学中，让学生了解空间两点间的距离公式的推导思路即可，不必证明． 三维目标 掌握空间两点的距离公式及其应用，提高学生的类比能力和解决问题的能力． 重点难点 教学重点：空间两点间的距离公式． 教学难点：空间两点间的距离公式的推导． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 设计1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容． 设计2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝x2－x1＋y2－y1.同学们想一想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式． 推进新课 新知探究 提出问题 1回顾平面内两点间距离公式. 222类比平面内两点间距离公式，得出空间两点的距离公式.3阅读教材，了解推导空间两点距离公式的推导思路，不必掌握.讨论结果： (1)平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么|AB|＝x1－x2(2)计算空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是 2222＋y1－y22. d(A，B)＝|AB|＝x2－x1＋y2－y1＋z2－z1. 222特别地，点A(x，y，z)到原点O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝x＋y＋z. (3)推导空间两点距离公式的思路是： 过两点分别作三个坐标面的平行平面(如下图)，那么这六个平面围成一个长方体，我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式． 你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(如下图) word 应用示例 思路1 例1给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30. 222解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|＝30，即x－4＋1＋2＝30，所2以(x－4)＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． 点评：此题利用空间两点间距离公式列出了方程，求出了点P的坐标． 变式训练 1．在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等． 解：设M(0,0，z)，由题意，得|MA|＝|MB|， 0－1＋0－0＋z－2＝0－1＋0＋3＋z－1， 整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3)． 2．△ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角形． 分析：要判定△ABC是一直角三角形，只需求出|AB|，|BC|，|CA|的长，利用勾股定理的逆定理来判定． 解：因为三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，所以|AB|＝1＋1＋－2＋1＋－3＋1＝3，|BC|2220＋1＋0＋1＋－5＋1＝32， 222|CA|＝1－0＋－2－0＋－3＋5＝3. 222又因为|AB|＋|CA|＝|BC|，所以△ABC是直角三角形． 思路2 例2A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，那么|AB|的最小值为( ) A．0 B.58C.D. 77分析：要求|AB|的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值． 解析：|AB|＝148x－72222222222＝35 7x－12＋3－2x2＋3x－32＝14x－32x＋19＝2535835＋≥.当x＝时，|AB|的最小值为. 7777答案：B 点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法． 变式训练 在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小． word 解：由，可设M(x,1－x,0)，那么 |MN|＝x－6＋1－x－5＋0－1＝2x－1＋51.所以|MN|min＝51. 知能训练 1．A(3,3,1)，B(1,0,5)，求： (1)线段AB的中点坐标和长度； (2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件． 3解：(1)设M(x，y，z)是线段AB的中点，那么根据中点坐标公式，得(2，，3)． 2根据两点间距离公式，得 |AB|＝1－3＋0－3＋5－1＝29， 所以AB的长度为29. (2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等， 所以有下面等式：x－3＋y－3＋z－1＝222x－1＋y－0＋z－5. 化简，得4x＋6y－8z＋7＝0， 因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0. 2．正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，平面ABCD和平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，假设CM＝BN＝a(02)．
求MN的长．
分析：建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN的长．
解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直．∴以B为原点，分别以射线BA，BE，BC为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B—xyz，如下图．
2
2
2
2
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2
2
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2
2
∵正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，CM＝BN＝a， ∴M(
2222a,0,1－a)，N(a，a,0)．由空间两点间的距离公式得|MN|＝2222
2
22a－a22
＋0－
2
a2
2
＋1－
2a－02
2
＝a－2a＋1.
2
拓展提升
如下图，以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/766ec25e2d3f5727a5e9856a561252d380eb203a.html