几种求数列前n项和的方法

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几种求数列前n项和的常用方法

1、公式法：

如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求. ①等差数列求和公式：Sn

na1annn1

na1d 22

na1q1

②等比数列求和公式：Sna11qnaaq

1nq1

1q1q

n(n1)

常见的数列的前n项和：123……+n=， 1+3+5+……+(2n-1)=

2

n(n1)(2n1)n(n1)3333

122232……+n2=，123……+n=等. 62

2

2、倒序相加法：

类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列an，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.

例、求sin21sin22sin23sin288sin289的值.

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289…………. …. …. …. ①

将①式右边反序得：Ssin289sin288sin23sin22sin21……②

o

22

又因为sinxcos(90x)，sinxcosx1，①+②得：

2S(sin21ocos21o)(sin22ocos22o)(sin289ocos289o)＝89

∴ S＝

小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和.

3、错位相减法：

类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法.

例、求和：Sn

12x3x2Lnxn1x0，x1（课本61页习题组4）

解：设Sn=1+2x+3x2+…+(n-1)xn-2+nxn-1， ①

则：x Sn= x +2 x2+…+(n-1) xn-1 + n xn ② ①－②得：(1- x)Sn=1+x+x2+…+xn-2+xn-1－n xn ③

∴当x=1时， Sn123n1n

n(1n)

2

1(1xn)

1xx2...xn1nxnnxn1xnnxn1x∴当x≠1时， Sn

1x1x1x(1x)21x

小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列cn的公比q；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.

4、分组求和法：

有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个

等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例、求和：Sn235143526353L2n35n 解：Sn235143526353L2n35n





246L2n3515253L5n

n

111n53152

nn13nn1 （课本61页习题组4）

14515

例、求和：Sna1a22a33Lann（课本61页习题组4）解：当a1时，(a-1)(a2)...(an)12...(n1)

2

n



(n1)n

2

当a1时，(a-1)(a22)...(ann)(aa2...a)(12...n)

a(1an)n(n1)



1a2

小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问

题得到顺利求解.

5、裂项相消法：

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/94b65d73677d27284b73f242336c1eb91a3733c7.html

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