三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC中，L、M、N分别是BC、CA、AB的中点. 求证：AL、BM、CN相交于一点G，且 AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1. BNLDG图1 AMC 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL与BM交于G，而且假设C与G的连线与AB边交于N，首先来证明N是AB的中点. 现在，延长GL，并在延长线上取点D，使GL=LD 。因为四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中点，因此，G是AD的中点. 另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中点，因此N是AB的中点. 另外，G是AD的中点，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可证： BG﹕GM=2﹕1， CG﹕GN=2﹕1. 这个点G被叫做ABC的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC中，设AB边上的中 1 线为CN，AC边上的中线为BM，其交点为G，边BC的中点为L，连接AG和GL，因为B、G、M三点共线，且M是AC的中点，所以向量BG∥BM，所以，存在实数1 ，使得 BNAMC图2 GLBG1BM，即 AGAB1(AMAB) 所以，AG1AM(11)AB =11AC(11)AB 2 同理，因为C、G、N三点共线，且N是AB的中点. 所以存在实数2，使得 AG2AN(12)AC = 12AB(12)AC 2所以 11AC(11)AB = 12AB(12)AC 22又因为 AB、 AC 不共线，所以 所以 121121211122 2 ，所以 11AGABAC . 333 因为L是BC的中点，所以GLGAACCL 121111=(ABAC)ACCB =ABAC(ABAC) 33233211=ABAC，即AG2GL，所以A、G、L三点共线.66故AL、BM、CN相交于一点G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1 2 证明3（向量法）（如图3）在ABC中，1BC的中点L对应于OL(OBOC)， 2 NBAG(G')LM MC中线AL上的任意一点G，有 OGOA(1)OL 图3OA1OB1OC.同理，ABo22的中线CN上的任意点G′，OGOC12OA12OB， 求中线AL和CN的交点，就是要找一个和一个，使OGOG.因此，我们令112，2112，2.解之得1.所以OGOG1OA1OB13333OC.由对称性可知，第三条中线也经过点G . 故AL、CN、BM相交于一点G，且易证AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1. 3 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9aad692f93c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad76a.html