定义法
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高中数学常用解题方法之定义法 定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。 一．奇（偶）函数的定义 一般地，对函数f(x)，如果对于定义域内每一个x，都有那么函数f(x)就叫做奇函数；如果都有f(x)f(x)f(x)f(x)，，那么函数f(x)叫做偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称． 例1.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) (A)f(x)+|g(x)|是偶函数 (B)f(x)-|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|+g(x)是偶函数 (D)|f(x)|-g(x)是奇函数 解析:选A.∵g(x)是R上的奇函数,∴|g(x)|是R上的偶函数,从而f(x)+|g(x)|是偶函数。 例2．判断下列函数的奇偶性． 1－x4－x222(1)f(x)＝3－x＋x－3； (2)f(x)＝(x＋1)； (3)f(x)＝. 1＋x|x＋3|－323－x≥0， 解析(1)由得x＝±3.∴f(x)的定义域为{－3,3}． 2x－3≥0 又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0，即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． 1－x≥0， (2)由1＋x1＋x≠0 ＝得－1<x≤1. ∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 24－x≥0， (3)由得－2≤x≤2且x≠0. |x＋3|－3≠0 ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． ∴f(x)＝4－x2x＋3－34－x2x. ∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数． 注：先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值号的先尽量去掉，再判断f(-x)与f(x)的关系，分段函数应分情况判断. 1＋a是奇函数，则a＝________. 2－111 解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．即x＋a＝－x－a. －2－12－1例3．若f(x)＝x2x－11 ∴＋a＝－－a. ∴＝2a，∴a＝. xxx21－22－12－12x1例4.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 解：选A.因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以当x≥0时,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3。 二．周期性函数的定义 一般地，对函数f(x)，存在非零正常数T，如果对于定义域内每一个x，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，T叫函数f(x)的周期．特别地，1，且当x∈[－3，－2]时，fx对于k∈Z且k≠0，kT也是函数f(x)的周期． 例1．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－f(x)＝2x，则f(113.5)的值是( ) 2211 A．－7 B.7 C．－5 D.5 解析：选D ∵f(－x)＝f(x)，f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－1f(x3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6.∴f(113.5)＝f(19×6－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)＝f(－2.5＋3)＝－1f(2.5)12(2.5)15，. 例2.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2 007)的值为( ) (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4 解析：选B.∵函数f(x)是R上的偶函数,∴f(2+x)=f(2-x)=f(x-2), ∴f(x+4)=f(x), 故函数f(x)是以4为周期的偶函数, ∴f(2 007)=f(3)=f(-3)=-2. 例3．定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断： ①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(4)＝f(0)． 其中判断正确的序号是________． 解析 f(x＋1)＝－f(x)⇒f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)关于直线x＝1对称，由此可得①⑤正确．【答案】 ①⑤ 三、增函数和减函数的定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当 x1间D上是增函数． 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当 x1都有f(x1)f(x2)x2x2，都有f(x1)f(x2)那么就说函数f(x)在区，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数. 例1.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上有( ) (A)最小值f(a) (B)最大值f(b) (C)最小值f(b) (D)最大值f(ab2) 解析:选C.设x12,由已知得f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2). 又x1-x2<0,∴f(x1-x2)>0,∴f(x1)>f(x2),即f(x)在R上为减函数. ∴f(x)在[a,b]上亦为减函数.∴f(x)min=f(b),f(x)max=f(a),故选C. 例2.已知f(x)=
xx2
(x≠a),试证f(x)在(-∞,-2)上单调递增.
x1x1＋2
x2
解析:任设x12<-2, 则f(x1)-f(x2)=
x2＋2（x1＋2）（x2＋2）
=
2（x1x2）
.
∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)2), ∴f(x)在(-∞,-2)上单调递增. 例3.已知函数
x4x,x0,
f(x)=
2
4xx,x0,
2
若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是
(A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)
(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析：选
（x2）4,x0,x4x
C.f(x)= 22
x2）4,x0,4xx（
2
2
图
由f(x)的图1可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,由f(2-a2)>f(a)得
2-a2>a,即 a2+a-2<0,解得-2例4.已知函数
（,3a2）x6a1（x＜1）
f(x)=x单调递减,那么
a（x1）
23
a的取值范围是
(A)(0,1) (B)(0,) (C)[,
8
323
) (D)[,1)
838
23
3
解析：选
3a2＜0,
C.由题意知需满足:0＜a＜1,
1（16a1a3a2）
a＜
.
例5．已知f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f(a2－a＋1)与是( )
f(
34
)
的大小关系
A．f(a2－a＋1)>
f(
34
)34
)
B．f(a2－a＋1)<
34)12)
2
f(
34
)34
)
C．f(a2－a＋1)≥
f(
D．f(a2－a＋1)≤
f(
解析 D ∵a2－a＋1＝(a ∴f(a2－a＋1)≤四、圆锥曲线的定义
f(
33
＋4≥4，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
。
例1、椭圆+=1的焦点为F1,F2,AB是椭圆过焦点F1的弦,则△ABF2的周长是 A.20
B.12
C.10
D.6 ，所以
解析：选A.因为AB过F1,由椭圆定义知|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20.
BF1BF22aAF1AF22a
例2.如图2,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为 ( ) A.8
B.2 C.4
D.
图2
解析：选C.根据椭圆的方程即定义,由|MF1|=2,
得|MF2|=8,又因为ON是△F1MF2的中位线,所以|ON|=4. 例4．点P(－3,0)是圆C：x2
y
2
6x550
内一定点，动圆M与已知圆相内
切且过P点，则圆心M的轨迹是___________. 解析：已知圆为(x
3)y
2
2
64
，其圆心C(3,0)，半径为8，由于动圆M过P
点，所以|MP|＝r.又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC|＝8－r，从而有|MC|＝8－|MP|，即|MC|＋|MP|＝8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C， P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆. 五、空间中线线角、线面角、面面角的定义；空间向量中法向量的定义
例1.已知异面直线a，b所成角为60°，P为空间任意一点，过P点作直线l使l与a，b 都成60°角，则这样的直线l有_______条.
解析：由于l与a，b所成角都是60°，而60°＞30°，且120°角的一半也为60°，故这样的直线l有3条.答案:3
例2.把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为( )
(A)120° (B)30° (C)90° (D)60° 解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(C(0,0,
2
2
,0,0),B(0,
2
22
,0), ),
),D(0,-
2
,0), ∴AD=(-
2
,-
2
,0),BC=(0,-,
∴|AD|=2,|BC |=2, AD·BC=2,
图3
BC〉 ∴cos〈AD，
ADBCADBC
222
12
. ∴异面直线AD，BC所成的角为60°.
例3.如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则
直线B1N与 平面BDM所成角的正弦值为_______．
解析：以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)，NB1＝(2,0,1)，又
图
M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则DB＝(2,2,0)，
DM
＝(0,1,2)，可得平面BDM的一个法向量n＝(2，－2,1)，因为
n·NB1nNB1
53
cos〈n,NB1〉＝
，故直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是
53
.
例4.如图5，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别
是AC，CC1 的中点.
(1)求证：AE⊥平面A1BD.(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.
图
思路点拨：由AA1⊥平面ABC可知，平面ABC⊥平面ACC1A1，故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.
【解析】(1)以D为原点，DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图，
则A(1，0，0)，C(-1，0，0)，E(-1，-1，0)， A1(1，-2，0)，C1(-1，-2，0)，B(0，0，B1(0，-2，
AE
3
3
)，
)，
3
＝(-2，-1，0)，A1D＝(-1，2，0)，BD＝(0，0，-).∴AE·A1D＝
2-2+0＝0，∴AE⊥A1D，AE·BD＝0，∴AE⊥BD. 又A1D与BD相交于D，∴AE⊥平面A1BD.
(2)设平面DA1B的一个法向量为n1＝(x1,y1,z1),
n1A1D0,x12y10,
由
3z10.n1BD0
取n1=(2,1,0).
)，A1A =(0，
设平面AA1B的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 易得A1B=(-1，2，2，0),
n2A1B＝0，则由
n2A1A0
x22y2
2y20,
3z20,
3
取n2＝(3,0，
3
).
cos〈n1,2〉=
6
15.故二面角D-BA1-A的余弦值为
155
12
5
5
n
本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9d2182fa270c844769eae009581b6bd97f19bc3f.html