word 某某省某某市时杨中学2014年高中数学 等比数列及其前n项和练习题 苏教版必修5 1．等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1q3．等比中项 若G＝a·b_(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m2n－1. ，(n，m∈N)． **(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N)，则ak·al＝am·an. 1an2(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{an}，{an·bn}，仍anbn是等比数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； a11－qna1－anq当q≠1时，Sn＝＝. 1－q1－q6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__q__. [难点正本 疑点清源] 1．等比数列的特征 nq 2．等比数列中的函数观点 3．两个防X anqanq≠ana≠nqq≠q 1 / 11 word 1．(2012·某某)已知等比数列{an}为递增数列，且a5＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 答案 2 解析 先判断数列的项是正数，再求出公比和首项． 1a25＝a10>0，根据已知条件得2＋q＝5，解得q＝2. n2q所以a1q＝a1q，所以a1＝2，所以an＝2. 2．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________. 答案 51 2222222289n解析 由a6a10＋a3a5＝41及a6a10＝a8，a3a5＝a4，得a4＋a8＝41.因为a4a8＝5， 所以(a4＋a8)＝a4＋2a4a8＋a8＝41＋2×5＝51. 又an>0，所以a4＋a8＝51. 3．已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则＋＝________. 答案 2 解析 令a＝1，b＝3，c＝9，则由题意，有x＝2，y＝6. ac19此时＋＝＋＝2. xy264．(2011·某某)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________. 答案 2 a2＝2，解析 由a2＝2，a4－a3＝4，得方程组2a2q－a2q＝4，acxy ⇒q－q－2＝0， 2解得q＝2或q＝－1.又{an}是递增等比数列，故q＝2. 5．(2012·课标全国改编)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________. 答案 －7 a4＋a7＝a1q＋a1q＝2，解析 方法一 由题意得4529a5a6＝a1q×a1q＝a1q＝－8，q＝－2，∴a1＝1336 1q3＝－，2或a1＝－8，9 ∴a1＋a10＝a1(1＋q)＝－7. a4＋a7＝2，方法二 由a5a6＝a4a7＝－8q＝－2，∴a1＝13 a4＝－2，解得a7＝4 a4＝4，或a7＝－2. 1q3＝－，2或a1＝－8，∴a1＋a10＝a1(1＋q)＝－7. 92 / 11 word 题型一 等比数列的基本量的计算 例1 等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 思维启迪：SSSqaaaSn解 (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q)． 由于a1≠0，故2q＋q＝0. 1又q≠0，从而q＝－. 212(2)由已知可得a1－a1－＝3.故a1＝4. 21n4[1－－]81n2从而Sn＝＝1－－. 132－1－2探究提高 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，22n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 32 等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝，且公比q∈(0,1)． 9(1)求数列{an}的通项公式； (2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值． 32解 (1)∵a3·a4＝a1·a6＝，又a1＋a6＝11， 9322故a1，a6可看作方程x－11x＋＝0的两根， 9321又q∈(0,1)，∴a1＝，a6＝， 33a6115∴q＝＝，∴q＝， a1322321n－111n－6∴an＝·＝·. 3232164(2)由(1)知Sn＝1－n＝21，解得n＝6. 32题型二 等比数列的性质及应用 例2 在等比数列{an}中， 1(1)若已知a2＝4，a5＝－，求an； 2(2)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． 思维启迪：anmnpqmnpq∈Namanapaqmnpmnp∈Namanap解 (1)设公比为q，则＝q，即q1＝－， 8**2a5a2333 / 11 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/9f68e057e75c3b3567ec102de2bd960590c6d975.html