人教版数学高二年级《椭圆》教学设计[1]
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欢迎光临《数学教育网》下载资料 椭圆 下面我们首先来介绍椭圆的基本知识： 1． 椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 这里同学们应特别注意定义中的常数要大于F1F2，若常数等于F1F2呢？则其动点轨迹就是线段F1F2；若常数小于F1F2呢？则其轨迹不存在。 2． 椭圆的标准方程 我们利用对称性建立平面直角坐标系，由椭圆的定义可得出椭圆的标准方程xa22yb221 或ya22xb22。 1（ab0） 关于椭圆的标准方程，同学们要注意以下几点： （1） 任何一个椭圆，只要适当地建立坐标系，其方程均可写成标准形式，当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式。 （2） 在标准方程中，隐含着ab0，cab这两个条件，这在解题中随时可能用到。 （3） 标准方程中的两个参数a、b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。 （4） 焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定标准方程的类型，即知道了焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两种形式。 3． 椭圆的几何性质（见下表） 标准方程 xa22222yb221（ab0） ya22xb221（ab0） l1 图形 A1 y B2 F2 B1 y A2 F2 l2 l2 F1 A2 x B1 O B2 F1 A1 x l1 性质 焦点 焦距 范围 对称 顶点 轴 F1(c,0)，F2(c,0) F1(0,c)，F2(0,c) 222F1F22c (cab) a x a, b y b b x b, a y a 关于x轴，y轴和原点都对称 A1(a,0)，A2(a,0) B1(b,0)，B2(b,0) B1(0,b)，B2(0,b) A1(0,a)，A2(0,a) 长轴A1A2，长轴长2a，短轴B1B2，短轴长2b eca 离心率 0e1,ba1e2 数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋 欢迎光临《数学教育网》下载资料 准线 l1:xa2c,l2:xa2c l1:ya2c,l2:ya2c 对于椭圆的几何性质同学们要掌握以下几个内容： （1） 给定椭圆方程，要很快说出焦点坐标、顶点坐标、长轴和短轴的长、离心率。 （2） 了解椭圆的范围，以后在求参数取值范围时可能要用到。 （3） 要熟悉椭圆中主要参数a、b、c，相互关系及与图中各种线段的关系。 我们以焦点在x轴上的椭圆xa22yb221（ab0）为例，以下内容均应熟练掌握，做到脱口而出。F1F22c、A1A22a、B1B22b。l1、l2间的距离为F1B2F2B2aF1C1F2C2A1C1A2C2aa22ac2，，，cb2A1F1A2F2acc，A1F2A2F1acc2， ca。 xay B2 xa2ccC1 l1 A1 F1 O B1 F2 A2 C2 l2 x 4． 椭圆的第二定义 我们前面介绍的椭圆的定义称为第一定义，下面我们来看第二定义。 我们把平面内到定点F及定直线l的距离之比等于定值e（0e1）的点的轨迹叫做椭圆，定点F称为焦点，定直线l称为准线，定比e称为离心率。 由于两种定义方式下的曲线，具有相同形式的方程，所以说这两种定义是等价的。 5． 椭圆的焦半径公式 椭圆上任意一点到焦点的距离称为椭圆的焦半径，下面我们来推导椭圆的焦半径公式。 设椭圆xa22yb221（ab0）的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，P(x1，y1)是椭圆上一点，求PF1、PF2的长。 解：设椭圆的右准线为l2:xa2c，作PQl2于Q，则 数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋 欢迎光临《数学教育网》下载资料 PQa2cx1 PF2PQe（椭圆第二定义） PF2ePQea2cx1aex1 ∵0e1，ax1a ex1eaa，即a ex10 PF2aex1 又∵PF1PF22a（椭圆第一定义） PF12a(aex1) aex1 即椭圆xa22yb22（ab0）上任意一点1P(x1，y1)的焦点半径公式为PF1 aex1，PF2aex1。 同样可得椭圆ya22xb22（ab0）上任意一点1P(x1，y1)的焦点半径公式为PF1 aey1，PF2aey1。[其中焦点坐标F1(0,c)，F2(0,c)] 说明由焦半径公式马上可以得到以下结论： 椭圆上到焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点。 这由焦半径公式PF1 aex1及a x1a即可推得PF1maxac，PF1minac（或用PF2aex1亦可） 以上我们介绍了椭圆的有关知识，下面我们看一些类型例题。 例1．已知ABC中，A3, 0)，B3, 0)，且三边AC、AB、BC依次成等差数列，求顶点C的轨迹方程。 分析：由已知可得ACBC2AB12，而12AB 于是点C的轨迹符合椭圆的定义 解：设C (x, y) ∵A3, 0)，B3, 0)为焦点的椭圆 AB6 ∵三边AC、AB、BC依次成等差数列 ACBC2AB12，而12AB 点C的轨迹是以A3, 0)，B3, 0)为焦点的椭圆 ∵2c6，2a12 c3，a6，b2a2c227 顶点C的轨迹方程为1 3627数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋 x2y2 欢迎光临《数学教育网》下载资料 注意到若点C在x轴上，此时C、A、B三点共线不能构成三角形，故点C的轨迹方程为x236y2271（y0） 点评：本题点C的轨迹符合椭圆的定义，于是求点C的轨迹方程直接套用椭圆的标准方程即可。这是求动点轨迹方程的一类典型题，我们称这种方法为“直接法”。 例2．若椭圆x2100y2361上一点P到它的右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为（ ） A．12 B．2 C．8 D．10 分析：由已知及第二定义可求得点P到右焦点的距离，再由第一定义即可求得。 解：由已知可得a10，b6，c8，e45 设点P到右准线的距离为d2，左、右焦点分别为F1、F2 则由第二定义知PF2d2e PF2ed210458 再由第一定义知PF1PF22a20 PF120812 故选A 点评：本题是联合使用第一定义、第二定义的基本题。 同学们要重视利用圆锥曲线的定义来解题，这是高考标准化题易出的题型。 例3．P是椭圆xa22yb22（ab0）上一点，F1、F2是它的两个焦点，且F1PF2，1y 则F1PF2的面积为 分析：如图，设PF1m，PF2n，SFPF1212mnsin m F1 P 于是只要求出mn的值即可 而在F1PF2中，mn2a，F1F22c 于是再由余弦定理即可求出mn的值 解：在F1PF2中，由余弦定理可得 m2n22mncos4c2 即mn22mn2mncos4c2 2mn4a4c22 n O F2 x 1cos12 即mn122b2b221cos 2 SFPF12mnsin1cossinbtan2 点评：本题是椭圆中一类典型题，深入钻研本题可会解一类题，本题展开思路的基础是，在F1PF2中，mn2a，F1F22c，以及余弦定理，此外在F1PF2中还有可能用到三角形内角和定理及正弦定理（这些我们在后面的例题会介绍） 数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋 欢迎光临《数学教育网》下载资料 例4．F1、F2是椭圆xa22yb221（ab0）的两焦点，过F1的弦AB与F2构成等腰直角三角形ABF2，若BAF290，则此椭圆离心率的值为 。 分析：如图，我们要在变中找不变量，虽然ABF2在变，但是其周长不变，为定值4a，又ABF2为等腰直角三角形，于是BF2中，由勾股定理可推得a，c的关系即可。 解：由第一定义可得 AF1AF22a，BF1BF22a ABF2的周长为4a 又在Rt ABF2中 ∵ABAF2 设AF2x xx2x4a 解得x4a2AB2AF2，由方程的思想可求得AF2的值（用a表示），进而又可求得AF1的值（用a表示），从而在RtAF1F2y A F1 B 422aO F2 x ，即AF24 AF12a22a221a 在RtAF1F2中，由勾股定理可得 AF12AF22F1F22 即2aa4c 21ca32163 222 解得 即e6x23 y2 例5．求椭圆1691上的点P，使其到直线l：3x4y500的距离最大或最小，并求此最大值或最小值。 分析：欲求此椭圆上的点到直线l距离的最值，关键在于建立距离的目标函数，若 yx设P(x0, y0)，则距离df (x0, y0)为二次函数，求最值有困难，由于1，于43数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋 欢迎光临《数学教育网》下载资料 是可设x4cos，则y3，即x4cos，y3sin，即可设P(4cos，sin（02）3sin)问题转化为三角函数求最值，显然求解很简明。 解：设P(4cos，3sin)（02）则点P到直线l的距离 d34cos43sin5051512sincos501 122sin50 54 当sin5122时，d10 1max54； 此时32，点P坐标为22,42 当sin122时， d101min54； xa2232此时，点P坐标为22,42 点评：教材通过P101页—例5介绍了椭圆yb221（ab0）的参数方程为xacos（为参数），由于参数没有明显的几何意义，所以椭圆的参数方程在ybsin大多数情况下并不好使，只是对于本例这样的题型才有用武之地。这一点请同学们务必注意。 例6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线yx1和椭圆交于P、Q两点，且OPOQ，PQ102，求椭圆方程。 分析：由于已知条件不能确定椭圆焦点位置，所以如何设所求椭圆方程是解本题的关键。求一个椭圆的方程，本质是求x2，y2项的系数，于是可设此椭圆方程为px2qy21 (p0, q0)。以下根据OPOQ，PQ102得到p，q的方程组，再求解数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋 欢迎光临《数学教育网》下载资料 即可。 解：设椭圆方程为px2qy21 (p0, q0) yx12 由2得 (pq)x2qxq10 ① 2pxqy1 设P(x1, x11)，Q(x2, x21) ∵OPOQ x11x1x21x21 2x1x2 (x1x2) 10 ② 又PQ2xx2x1x21225 22 4(x1x2)216x1x250 ③ 又由韦达定理，从方程①得 qxx21pq 代入②，③得 q1xx12pqpq2 216q16q1pqpq52 0 4q28q30 p qp2 或 1q231232 所求椭圆方程为3x2y22或x23y22 点评：本例属于椭圆方程预先不能定位的题型，可考虑设此椭圆方程为px2qy21(p0, q0)，其优点有二：第一它可包含两种不同位置；第二其方程为整式方程，给计算带来方便，此外，本例是用待定系数法求椭圆方程的典型题，过程中用到方程的思想，在解方程组时，要注意运算的合理性。 这节课我们介绍了椭圆的全部基本知识，选讲了6道基本例题，同学们务必要把每道例题 的基本思路搞清楚。要弄透一道题，才能会解一类题，提高学习效率，收到事半功倍的效果。 数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a02378115b0216fc700abb68a98271fe910eaf9f.html