第五讲 不等式
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第五讲 不等式 【知识梳理】 1.实数的基本性质 (1)abab0;(2)abab0;(用于比较大小) (3)abab0.2.不等式的主要性质: (1)对称性:abba (2)传递性:ab,bcac (3)加法法则:abacbc;ab,cdacbd (4)乘法法则:ab,c0acbc;ab,c0acbc ab0,cd0acbd 11(5)倒数法则:ab,ab0 ab(6)乘方法则:ab0anbn(nN*且n1) (7)开方法则:ab0nanb(nN*且n1) 3. 一元二次不等式ax2bxc0(a0)与相应的函数yax2bxc(a0)、相应的方程ax2bxc0(a0)之间的关系: 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc (a0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 x1,x2(x1x2) 有两相等实根 axbxc02a0的根ax2bxc0(a0)的解集 x1x2b 2a无实根 xxx或xx 12bxx 2a R ax2bxc0(a0)的解集 xx1xx2 4.一元二次不等式恒成立情况小结: a0. 0a02a0(2)axbxc0()恒成立. 02(1)axbxc0(a0)恒成立 5.基本不等式 (1)两个数的均值不等式:若a,bR,则ab≥ab(等号仅当ab时成立) 2(2) 最值定理:当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时,其和 有最小值。 【例题讲解】 题型一 不等式基本性质 1. 例1. (1)已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是 A、abac2bc2 B、ac2bc2ab C、a3b311ab D、a2b2a|b| (2)已知a,b,c满足cba,且ac0,那么下列选项中不一定成立的是( ) A.abac B. c(ba)0 C.cb2ab2 D.ac(ac)0(3)已知a0,1b0,那么a,ab,ab2的大小关系为_________________ 【巩固训练】 1.设a>b,不等式⑴a2>b2,⑵1a>1b⑶1ab>1a能成立的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.设M2a(a2)3,N(a1)(a3),aR则有( ) A.MN B.MN C.MN D.MN 3.已知-2≤α<β≤2,则2的范围为 . 4. 已知ab0,cd0,求证:(1)3ad3bc;(2)eacebd. 5. 已知20a34,24b60,求ab,ab及ab的范围. 题型二 解一元二次不等式 例4.解下列不等式 (1) x27x120; (2) x22x30; (3) x22x10; (4) x22x20. 【巩固训练】解下列不等式: x30 (1)x7(2)x(3x)x(x2)1 (3)1x2x12 2x22x30 (4)2x5x6 题型三 简单的含参二次不等式 例5.(1)关于x的方程ax25xc0的解集为{x|2x3},则a____,c_____ (2)若关于x的不等式ax2bxc0的解集为{x|ax2bxc0的解集为_____________. 11x},则关于x的不等式32例6.(1)若关于x的不等式x2mxm0的解集为R,则m的取值范围为_____________. 2(2)已知关于x的不等式(a2)x22(a2)x40恒成立,则实数a的取值范围为___________ 【巩固训练】: 1.若不等式(1a)x24x60的解集为{x|3x1},则a=_________ 2.当m是什么实数时,方程mx2(1m)xm0有实根? 3.当a为何值是,关于x的不等式(a21)x2(a1)x10的解为全体实数? 题型四 基本不等式的应用 例7. (1)下列命题中正确的是 ( ) A.当x0且x1时,lgx12 lgxC.当0B.当x0,x12 x2,sin21的最小值为22 D.当0x2,x无最大值 sinx(2)已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q1,设Pa3a9,Qa5a7,则P与Q的大小2关系是 ( ) A.P > Q B.P < Q C.P = Q D.无法确定 例8. 已知正数x,y满足x2y1,求11的最小值有如下解法: xy解:∵x2y∴(1且x0,y0.∴ 11111()(x2y)222xy42 xyxyxy11)min42. 判断以上解法是否正确?说明理由;若不正确,请给出正确解法. xy 【巩固训练】 1. 若实数a、b满足a+b=2,是3+3的最小值是 ( ) A.18 2. 已知正数x、y满足 B.6 C.23 D.243 ab811,则x2y的最小值是 ( ) xyA.18 B.16 C.8 D.10 3.已知x1,则函数yx1的最小值为____________ x14. 函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxny1上,其中mn0,则 12的最小值为 . mn 例9. 村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少? 【巩固训练】 1.如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上. (1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式; (2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明. 2. 某种汽车,购买是费用为10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费9千元,汽车的维修费第一年为2千元,第二年为4前元,第三年为6千元……,依等差数列逐年递增.问:这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年时年平均费用最少)? 【家庭作业】: 1.如果a0,b0,那么,下列不等式中正确的是( ) 11 (B)ab (C)a2b2 (D)|a||b| ab112.不等式的解集是( ) x2A.(,2) B.(2,) C.(0,2) D.(,0)(2,) (A)3. 若a、b、cR,ab,则下列不等式成立的是( ) (A)ab112.(D)a|c|b|c|. . (B)a2b2. (C)2c1c1ab22224. 若角α,β满足-π<α<π,-π<β<π则2α+β的取值范围是 ( ) A.(-π,0) 5. 不等式 π,π) D.π) B.(-π,π) C.(-3(-3,3222212x0的解集是_________ . x16. 比较下列各组中两个代数式的大小: ⑴x2+3与3x ; ⑵已知a,b为正数,且a≠b,比较a3 +b3与a2b+ab 7.设函数f(x)lg(2x3)的定义域为集合M,函数g(x)1合M,N;(2)集合MN,MN. 8. 设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上下各留8cm空白,左、右各留5cm空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小? 22 2的定义域为集合N.求:(1)集x1 本文来源:https://www.wddqw.com/doc/a490ec29dd80d4d8d15abe23482fb4daa58d1dba.html