线性代数汇总试题库

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线性代数汇总试题库(总29页)

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广西工学院成人高等教育

线性代数课程

学习指南

主编：王琦

2009年1月

目录

第一部分成人高等教育课程试题库编写审批表…………………2 第二部分《线性代数》课程教学大纲………………………………3 第三部分模拟试题…………………………………………………7

第一套题目………………………………………………………7 第二套题目………………………………………………………9第三套题目………………………………………………………11 第四套题目………………………………………………………13 第五套题目……………………………………………………15 第四部分参考答案…………………………………………………17

第一套题目参考答案…………………………………………17 第二套题目参考答案…………………………………………20第三套题目参考答案…………………………………………23 第四套题目参考答案…………………………………………26 第五套题目参考答案…………………………………………28

1

第一部分成人高等教育课程试题库编写审批表

填报日期：2009年1月15日课程名称

姓名最后学历毕业学校专业职称高校教龄担任过成高何课程编写过何成高课程期末考试题在题库编写中承担的具体任务审查人情况

姓名

职称

专业

试题和参考答案

主编王琦硕士研究生广西大学基础数学专业

讲师 3

高等数学、线性代数、概率论与数理统计、高等数学、线性代数、概率论与数理统计

线性代数

参编人员情况

参编

课程代码

2

对试题的审查意见

签字：日期：年月日

签字：日期：年月日

系分管领导审批意见备注

3

第二部分《线性代数》课程教学大纲

第一部分前言

一、课程简介

本课程是属于公共基础课，通过该课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识基本理论掌握必要的数学运算技能。同时使学生在运用数学方法分析问题和解决问题的能力得到进一步的培养和训练，为学生学习后继课程和数学知识的拓宽提供必要的基础。二、本课程与其他课程的联系

以高中数学起点即可学习本门课程。从而为学习后继课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。三、适用对象

经济管理、理工类本专科专业。四、课程的教学目标和教学总体要求

通过教学各环节，培养学生抽象概括问题的能力，逻辑推断能力，运算能力，培养学生综合应用知识去分析问题和解决问题的能力，为进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

课程的总体教学要求。说明：

1.“了解”是指学生应能辨认的科学事实、概念、原则、术语，知道事物的分类、过程及变化趋势，包括必要的记忆；

2.“理解”是指学生能用自己的语言把学过的知识加以叙述、解释和归纳；

3.“掌握”是指学生能根据不同情况对某些概念、定律、原理、方法等在正确理解的基础上结合事例加以运用；

4.“熟练掌握”是指学生能够依据所学的知识能综合分析问题、解决问题。五、课程类别

公共基础课。六、总学时分配

学习形式

学时分配总学时

第一章第二章

夜大

函授

脱产

备注

理论实践理论实践理论实践 5 7

4 4

4

第三章第四章合计

9 6 27 27

6 4 18 18

七、使用教材及主要参考书目。

[1] 《线性代数》(第四版)，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2003年7 月;

[2] 《线性代数复习与解题指导》，刘剑平，曹宵临，华东理工大学出版社，2001； [3] 《线性代数》，刘金旺，夏学文，复旦大学出版社，2006年7月； [4] 《线性代数》，惠淑荣，张京，李修清，东北大学出版社，2006年8月；八、课程的考核方式与成绩评定办法。

开卷考试。成绩比例：卷面成绩70％，平时成绩30％。

第二部分教学内容

说明：

1．“了解”是指学生应能辨认的科学事实、概念、原则、术语，知道事物的分类、过程及变化趋势，包括必要的记忆；

2．“理解”是指学生能用自己的语言把学过的知识加以叙述、解释和归纳； 3．“掌握”是指学生能根据不同情况对某些概念、定律、原理、方法等在正确理解的基础上结合事例加以运用；

4．“熟练掌握”是指学生能够依据所学的知识能综合分析问题、解决问题。

一、教学内容与学时分配

第一章行列式

（本章课时分配：夜大5学时，函授4学时）『教学要求与说明』

(1)理解二阶与三阶行列式的定义（举两个例子说明计算方法），了解n阶行列式的定义，让学生领会行列式展开每一项的特征（函授略讲）。

(2)了解全排列及其逆序数的概念(举两个例子说明逆序数的计算方法）。 (3)掌握用行列式的性质计算行列式(举三四个数字行列式的例子，函授讲解两个例子）。

5

(4)理解代数余子式的概念（举例子说明），掌握行列式按行（列）展开从而降阶的方法（举一个例子，并强调按行按列都可以，不需证明）。

(5)掌握n元n个方程的非齐次线性方程组有唯一解的判定法及n元n个方程的齐次线性方程组有非零解的判定方法（举例说明）。

『教学重点』

行列式的六条主要性质的结论及其运用；行列式的计算；Cramer法则及其应用。

『教学难点』

n阶行列式的定义；行列式按行（列）展开的应用；高阶行列式的计算。

第二章矩阵及其运算

（本章课时分配：夜大7学时，函授4学时）『教学要求与说明』

(1)了解单位矩阵、对角矩阵、零矩阵、对称矩阵及矩阵相等的概念（举例子说明，函授略讲）。

(2)熟练掌握矩阵的加、减法法则及其运算规律；数与矩阵的乘法法则与其运算规律；矩阵与矩阵间的乘法法则及其运算规律。了解矩阵的转置运算及其运算规律、方阵的幂运算、方阵的行列式及其性质（举例子加以强调）。

(3)熟练掌握逆矩阵的求法（举一个例子）。『教学重点』

矩阵可逆的充分必要条件，逆矩阵的求法。

『教学难点』

矩阵与矩阵间的乘法法则，逆矩阵的求法。第三章矩阵的初等变换与线性方程组（本章课时分配：夜大9学时，函授6学时）『教学要求与说明』

(1)掌握矩阵初等变换（与行列式的性质加以类比与区别），熟练掌握用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯形与最简形的方法（以一个四行五列的行列式为例）。 (2)掌握用矩阵行初等变换求逆矩阵的方法（举一个例子）。

(3)熟练掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩（举一个例子）。

(4)熟练掌握用矩阵的初等变换求方程组的解或通解（分别举一个齐次和非齐次方程组的例子）。

『教学重点』

矩阵初等变换及其应用；矩阵的秩及其求法；方程组的解或通解的求解。

『教学难点』

用矩阵行初等变换求逆矩阵；非齐次方程组有解条件。第四章向量组的线性相关性

（本章课时分配：夜大6学时，函授4学时）『教学要求与说明』

6

(1)理解n维向量的概念（强调是特殊的矩阵，所以满足矩阵所有运算），掌握n维向量的运算（举例说明）；理解向量组的线性组合的概念（举例说明）。

(2)掌握用定义判别向量组的线性相关性（举例说明），了解向量组线性相关判断定理及相关性质（不需证明，举例说明）。

(3)理解向量组的极大无关组的概念及向量组秩的概念（举例说明）。 (4)掌握用向量组的秩判定向量组的线性相关性（举例说明，函授略讲）。

(5)掌握用矩阵的初等变换求向量组的秩及求一n维向量组的一个极大无关组，会用极大无关组表示其余的向量（举例说明，函授略讲）。

(6)掌握齐次线性方程组基础解系及通解的求法（举例说明），掌握非齐次线性方程组通解的求法（举例说明）。

『教学重点』

向量组的线性相关、线性无关的概念及其判别法；向量组的极大无关组、向量组的秩的概念；用矩阵的初等变换求矩阵的秩、向量组的秩及求向量组的一个极大无关组；齐次线性方程组及非齐次线性方程组解的结构；齐次线性方程组基础解系及通解的求法、非齐次线性方程组通解的求法。

『教学难点』

向量组的线性相关（无关）性的概念、判断定理及相关性质。二、习题与作业

第一章

§1 计算三阶行列式 1-2道题 §2 求逆序数 2道题

§3 利用定义计算一个四阶行列式 1道题 §5 利用行列式的性质计算行列式 3道题 §6 利用行列式展开定理计算行列式2道题

§7 利用克莱默法则计算齐次、非齐次线性方程组 2-3道题第二章

§2 矩阵的加、减、转置、方幂运算 3-5道题矩阵乘法运算 1－2道题 §3 求逆矩阵 1-2道题第三章

§3 求矩阵的秩 1-2道题

§4 解齐次、非齐次线性方程组 3-4道题第四章

§1 向量及其线性组合 1道题 §2 判断向量组的线性相关性 1-2道题

7

§3 求向量组的秩 1-2道题

§4 利用线性方程组解的结构解线性方程组齐次、非齐次各1道题

说明：“习题与作业”参照教材：同济大学应用数学系主编，《线性代数》(第四版)，高等教育出版社， 2003年7月;

第三部分模拟试题

第一套题目

广西工学院继续教育学院年春（秋）学期期末考试试题

(考试时间：120分钟 )

考核课程：线性代数（A / B）卷考核方式：(开 / 闭) 卷

题号得分得分

评卷人一

二

三

四

五

六

七

总分

阅卷审核人

一、填空题（每小题3分，共30分）

123

1．三阶行列式120 .

0142. 排列42135的逆序数为 .

2113

55

3. 利用行列式的性质计算三阶行列式5723 .

4226110

124T

A . 4. 矩阵A则,013

5. 已知A为2阶方阵，A3，则2A .

8

3

(1,2,3)6. 2 .

1

13

7. 若二阶方阵A20,则2A .



213

A0178. 矩阵,则该矩阵的秩R(A) .

000

9. n元线性方程组Axb有惟一解的充分必要条件为 .

20



10. 已知向量4,2,则 .

31

得分

评卷人

二、计算题（每小题10分，共10分）

21

315012得分

426311 22

评卷人

三、计算题（每小题10分，共10分）

47

求矩阵A的逆，其中A12

得分

评卷人

四、计算题（每小题12分，共12分）

2

1 4

031



求下列矩阵的秩A112

134

得分

评卷人

五、计算题（每小题14分，共14分）

x15x22x33x411

求解线性方程组5x13x26x3x41

2x4x2xx6

2341

9

得分

评卷人

六、计算题（每小题12分，共12分）

问a取什么值时向量组1(a,1,1)T,2(1,a,1)T,3(1,1,a)T线性相关？得分

评卷人

七、计算题（每小题12分，共12分）

T

T

T

求下列向量组的秩1(1,2,1,3),2(4,1,5,6),3(1,3,4,7)。

第二套题目

广西工学院继续教育学院年春（秋）学期期末考试试题

(考试时间：120分钟 )

考核课程：线性代数（A / B）卷考核方式：(开 / 闭) 卷

题号得分得分

评卷人一

二

三

四

五

六

七

总分

阅卷审核人

一、填空题（每小题3分，共30分）

1. 四阶行列式式中含有a11a23的项是a11a23a32a44和 . 2. 排列52413的逆序数为 .

3．对于两个n阶方阵A,B，若，则称方阵A与B是可交换的 4. 方阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 . 5. 矩阵的转置运算中(AB)T= .

6. 行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的矩阵A*为伴随矩阵，则

AA*A*A .

7. 若A可逆，数0，则A可逆，且(A)1 .

8．设向量组1(1,3,1)T,2(2,1,0)T,3(1,4,1)T，它们的相性相关性是 .

10

9．n元齐次线性方程组Ax0只有零解的充要条件为 .

20

10．已知向量4,2,则2 .

31

得分

评卷人

二、计算题（每小题12分，共12分）

a

ax

计算行列式

xaaxaa

.

得分

评卷人

三、计算题（每小题10分，共10分）

2100008500 32

5

2

求矩阵A的逆，其中A

00得分

评卷人

四、计算题（每小题12分，共12分）

32131A21313求下列矩阵的秩

70518

得分

评卷人

五、计算题（每小题14分，共14分）

x1x22x3x40

求解线性方程组2x1x2x3x40

2x2xx2x0

2341

得分评卷人

六、计算题（每小题10分，共10分）

11

21,0

14, 1

1

判定下列向量组是线性相关还是线性无关： 3,

1

得分

评卷人

七、计算题（每小题12分，共12分）

19221004

求下列向量组的秩：1,2,32。 110

448

第三套题目

广西工学院继续教育学院年春（秋）学期期末考试试题

(考试时间：120分钟 )

考核课程：线性代数（A / B）卷考核方式：(开 / 闭) 卷

题号得分得分

评卷人一

二

三

四

五

六

七

总分

阅卷审核人

一、填空题（每小题3分，共30分）

0

2000030

00

 . 04

10

1．对角行列式

00

2. 排列52431的逆序数为 .

3. 若行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于 .

124

4. 矩阵A013,则2A .

5. (AB)T . 6. 若A可逆，则A .

12

1221

7. 若二阶方阵A,B,则AB .

2505

153



8. 矩阵A004,则该矩阵的秩R(A) .

000

9. n元线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为 .

20



10. 已知向量4,2,则23 .

31

得分

评卷人

二、计算题（每小题10分，共10分）

411001251202142 07

得分

评卷人

三、计算题（每小题10分，共10分）

51

求矩阵A的逆，其中A

92得分

评卷人

四、计算题（每小题12分，共12分）

21 4

031



求下列矩阵的秩A112

134

得分

评卷人

五、计算题（每小题14分，共14分）

x1x22x3x40

求解线性方程组2x1x2x3x40

2x2xx2x0

2341

得分

评卷人

六、计算题（每小题12分，共12分）

13

2

判定下列向量组是线性相关还是线性无关： 3,

014,000, 2

得分

评卷人

七、计算题（每小题12分，共12分）

2104511

设3(1)2(2)5(3),求，其中1,2,3.

1513101

第四套题目

广西工学院继续教育学院年春（秋）学期期末考试试题

(考试时间：120分钟 )

考核课程：线性代数（A / B）卷考核方式：(开 / 闭) 卷

题号得分得分

评卷人一

二

三

四

五

六

七

总分

阅卷审核人

一、填空题（每小题3分，共30分）

0

2490030

00

 . 04

11

1. 下三角行列式

25

2. 排列52314的逆序数为 .

3. 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于 .

4242

4. 矩阵A12,B36,则AB .

5. (A)T .

14

3

(2,0,1)6. 2 .

4

23

7. 若二阶方阵A41,则2A .



113

A0058. 矩阵,则该矩阵的秩R(A) .

000

9. n元线性方程组Axb无解的充分必要条件为 .

21



10. 已知向量3,2,则2 .

31

得分

abbd

bf

accdcf

评卷人

aede ef

二、计算题（每小题10分，共10分）

得分

评卷人

三、计算题（每小题10分，共10分）

57

求矩阵A的逆，其中A23

得分

评卷人

四、计算题（每小题12分，共12分）

2183723075

求下列矩阵的秩A 32580

10320得分

评卷人

五、计算题（每小题14分，共14分）

x12x2x3x40

求解线性方程组3x16x2x33x40

5x10xx5x0

2341

15

得分

评卷人

六、计算题（每小题12分，共12分）

问a取什么值时向量组1(a,1,1)T,2(1,a,1)T,3(1,1,a)T线性相关？得分

评卷人

七、计算题（每小题12分，共12分）

19221004

求下列向量组的秩：1,2,32。 110

448

第五套题目

广西工学院继续教育学院年春（秋）学期期末考试试题

(考试时间：120分钟 )

考核课程：线性代数（A / B）卷考核方式：(开 / 闭) 卷

题号得分得分

评卷人一

二

三

四

五

六

七

总分

阅卷审核人

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．四阶行列式式中含有a11a23的项是a11a23a34a42和 . 2. 排列42135的逆序数为 .

21

13

55

3. 利用行列式的性质计算三阶行列式5723 .

101446

32T

A . 4. 矩阵A则,

01

16

23

5. 若二阶方阵A41,则2A .



3



6. (0,2,0)2 .

1

7. (A)T .

213

8. 矩阵A030,则该矩阵的秩R(A) .

000

9. n元线性方程组Axb有解的充分必要条件为 .

21



10. 已知向量3,2,则2 .

31

得分

abbd

bf

accdcf

评卷人

aede ef

二、计算题（每小题10分，共10分）

得分

评卷人

三、计算题（每小题10分，共10分）

x1x2x30

问,取何值时，齐次线性方程组x1x2x30有非零解。

x2xx0

231

得分

评卷人

四、计算题（每小题12分，共12分）

x1x22x3x40



求解线性方程组2x1x2x3x40

2x2xx2x0

2341

得分

评卷人

五、计算题（每小题14分，共14分）

17

12211求B24802

的秩。 24233

36064得分评卷人

六、计算题（每小题12分，共12分）

v1103,v,v

12134求3v12v2v3。

010

得分评卷人

七、计算题（每小题12分，共12分）

a

1

设向量组：3,

2b22的秩为2，求a,b。 1,3

,3

1

1

第四部分参考答案

第一套题目参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

11． 13 2. 4 3. 0 4. 021

 5. 12436. 10 7. 26

40 8. 2 9. R(A)R(A,b)n

2

2 2

18

10.

二、计算题（每小题10分，共10分）

21315012

4263

150131r1r2250212

6

26321

0 22

三、计算题（每小题10分，共10分）

A42711

27A*14



A1

1*12727

 AA11414

27

即A114



四、计算题（每小题12分，共12分）

031

A112

134

2112r1r21310

1344112

046

046

r23r1r3r1

124

1112r3r25046

0050

1

50

所以R(A)2

五、计算题（每小题14分，共14分）

1523



(A,b)5361

2421

11r5r1523r322r111028414

014276152311

01

720000

1

r228r314r2

115628

91

1072111115r2

2r01

72

00000



12 0

所以原方程组等价于方程组

19

9191xxx1xxx4134311

7272，即 1111

x2x3x42x2x3x42

7272

x11

x22

取x3x40，得x11,x22，即方程组的特解为。

x03x04

91xxx431x31x3072，得原方程组所对应的齐次方程组再分别取0,1,代入xx1144x2x3x4

729

71

的基础解系为,

710

1

21,所以原方程组的解为 201

91x1172

x2112C,C,CR C12x072123

10x0

4

10

六、计算题（每小题12分，共12分）

a

1

1

该向量组线性相关，当且仅当行列式1a10，即(a2)(a1)20，解得a2,或

11a

a1，即当a2,或a1时，该向量组线性相关。

七、计算题（每小题12分，共12分）

20

114114114

213095095

，所以向量组的秩为2. 1,2,3154095000

36701810000

第二套题目参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

1． a11a23a34a42 2. 7 3．ABBA 4．A0 5．BTAT

21

211

6．AE 7．A 8．线性相关 9．R(A)n 10. 8

5

二、计算题（每小题12分，共12分）

xaaa

xa





r1r2rn

x(n1)a

aa111

[x(n1)a]

a

xa





cic1[x(n1)a]

i2,3,,n

x(n1)ax(n1)a

xa



1aaax0a



00

xa

aax

aax

(xa)n1[x(n1)a]

xa

三、计算题（每小题10分，共10分）

A15283

令A1，则,AA212520

1

A1

所以A10



0121231

，而， A,A21A22558

00120120

2500250001，即 A100230023A200580580

四、计算题（每小题12分，共12分）

22

321311344r1r2A213132131

705187051

3442113r22r1

r37r1r33r2

07119707

02133272200所以R(A)3

2

384110

42



9701

五、计算题（每小题14分，共14分）



0100

1010

4001

433 43

112

2112211112

1013

20101101



1013

3003



x1

所以原方程组等价于方程组



x2

44x40xx4133

3x40，即x23x4 44

x3x40x3x4

33

4

x13x3，所以原方程组的解为取x41，得原方程组的基础解系为2x34x341

4

x13x23,Cx433x

14



CR

六、计算题（每小题12分，共12分）

23

1

1,2,33

1

210

1140

10

27

2

1170

20

21

0

11 0

该向量组的秩为2，小于向量的个数3，所以线性相关。

七、计算题（每小题12分，共12分）

92191

21

92

21,2,3141004102

082

48019032

00

00

00

24

10

00

，所以向量组的秩为2.00

第三套题目参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

248TT

AB1． 24 2. 8 3. 0 4.  5. ,026



4

11

06. 7.  8. 2 9. R(A)R(A,b)n 10. 2

203



二、计算题（每小题10分，共10分）

1104918

c2c21

1(1)4222100

c2c210520c47c2105314

103143101734

011701001

202c3c2

1

22

2

1(1)21

9

181734

(9(34)(18)17)0

4

124

4

1

1

10

4

1

三、计算题（每小题10分，共10分）

21A*

9521

即A1

1*1212195A1A

A19595

A52191

四、计算题（每小题12分，共12分）

031



A112

134

2112r1r21310

1344

112

046

046

r23r1r3r1

124

1112r3r25046

0050

1

50

所以R(A)2

25

五、计算题（每小题14分，共14分）



0100

1010

4001

433 43

112

2112211112

1013

20101101



1013

3003



x1

所以原方程组等价于方程组



x2

44x40x13x43

3x40，即x23x4

44

x3x40x3x4

33

4

x13x3，所以原方程组的解为取x41，得原方程组的基础解系为2x34x341

4

x13x23xC4,33x

14



CR

六、计算题（每小题12分，共12分）

21030

40

21

4

02

32

220所以线性无关

七、计算题（每小题12分，共12分）

由3(1)2(2)5(3),可得3122535，所以

6312253，即

21046202061

11511115251122[312253]325

51631056183661

24431019205

26

第四套题目参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

80TT

1． 24 2. 6 3. 0 4.  5. (A)A28



4

46

6. 10 7.  8. 2 9. 10. R(A)R(A,b)827 5



二、计算题（每小题10分，共10分）

abbdbf

accdcf

ae

1

1

1

deabcdef1ef111abcdef(111111)4abcdef

11

三、计算题（每小题10分，共10分）

A53721

37A*25



A1

1*13737

 AA12525

37

即A125



四、计算题（每小题12分，共12分）

2

2A

3110

00

132003000012

8

71

075r1r42



5803



2320

20103



016012



014000



17000

3

03212100

010320



07503635



58002420

83701217

010320701217

140000116000003

2

所以R(A)3

27

五、计算题（每小题14分，共14分）

1211121

361300451015004

1120



0001

0000

1

0 0

x40x12x2x12x2x4

所以原方程组等价于方程组，即

x0x033

2



x12x2x4x21x201

分别取代入，得原方程组的基础解系为,,,x0x1044x30

0

x121x210

所以原方程组的解为C1C2,C1,C2R

x003

01x

4

1

00, 1

六、计算题（每小题12分，共12分）

a

1

1

该向量组线性相关，当且仅当行列式1a10，即(a2)(a1)20，解得a2,或

11a

a1，即当a2,或a1时，该向量组线性相关。

七、计算题（每小题12分，共12分）

92191

21004082

1,2,31102019

448032

2100

00

00

92

10

，所以向量组的秩为2. 0000

28

第五套题目参考答案

一、填空题（每小题3分，共30分）

4630

1．a11a23a32a44 2. 4 3. 0 4.  5. 82 21

4



6. 4 7. (A)TAT 8. 2 9. R(A)R(A,b) 10. 7

5

二、计算题（每小题10分，共10分）

abbdbf

accdcf

ae

1

1

1

deabcdef1ef111abcdef(111111)4abcdef

11

三、计算题（每小题10分，共10分）



D1

1

1

111(1)，方程组有非零解，当且仅当D0,即

11

2100

1111

(1)0，解得或1。

四、计算题（每小题12分，共12分）

112

211221

1112

1013

2010

1101



1013

3003



0100

1010

4001

433 43

29

x1

所以原方程组等价于方程组



x2

44x40xx4133

3x40，即x23x4 44

x3x40x3x4

33

4

x13x23

取x41，得原方程组的基础解系为4，所以原方程组的解为

x3x341

4

x13x23xC4,33x

14



CR

五、计算题（每小题14分，共14分）

1221

0248

2423

3606

11221

20042

30021

4006312

00

00

00

21210000

1010

112



000

500

100

21

210000

1551

所以R(B)3

六、计算题（每小题12分，共12分）

1033030



3v12v2v3312143241

0100202

七、计算题（每小题12分，共12分）

向量组的秩为2，所以

30

a12323111212

a213004

23

23(a2)(a2)0，所以a2.

11

11

41

b23b9134b9b50，所以b5.

b91

311001

12

31

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/a7ce7bee0ba1284ac850ad02de80d4d8d15a0112.html

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