不等关系与不等式知识点总结

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不等关系与不等式知识点总结

1、不等式的基本性质 ①（对称性）abba ②（传递性）ab,bcac

③（可加性）abacbc

（同向可加性）ab,cdacbd （异向可减性）ab,cdacbd ④（可积性）ab,c0acbc

ab,c0acbc ⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd

（异向正数可除性）ab0,0cdab

cd

⑥（平方法则）ab0anbn(nN,且n1) ⑦（开方法则）ab0nanb(nN,且n1) ⑧（倒数法则）ab02、几个重要不等式

1111;ab0 abab

a2b2

. ①ab2aba，bR,（当且仅当ab时取""号）. 变形公式：ab2

2

2

②（基本不等式）

ab

ab a，bR,（当且仅当ab时取到等号）. 2

2

ab

变形公式： ab2ab ab.

2

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）

abc3

abc(a、b、cR)（当且仅当3

abc时取到等号）.

④abcabbccaa，bR

2

2

2

（当且仅当abc时取到等号）. ⑤abc3abc(a0,b0,c0) （当且仅当abc时取到等号）. ⑥若ab0,则

3

3

3

ba

2（当仅当a=b时取等号） abba

若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab

⑦

bbmana1 aambnb

其中(ab0，m0，n0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧当a0时，xax2a2xa或xa;

xax2a2axa.

⑨绝对值三角不等式ababab.

3、几个著名不等式

2aba2b2

①平均不等式：1 ab1

ab22

a，bR,（当且仅当ab时取""号）.



（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.

变形公式：

22ababab; 

22

2

(ab)2

ab.

2

2

2

②幂平均不等式：

a12a22...an2

1

(a1a2...an)2. n

③二维形式的三角不等式：

x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2

(x1,y1,x2,y2R).

④二维形式的柯西不等式： (ab)(cd)(acbd)(a,b,c,dR).当且仅当

2

2

2

2

2

adbc时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

(a12a22a32)(b12b22b32)(a1b1a2b2a3b3)2.

222222

⑥一般形式的柯西不等式：(a1a2...an)(b1b2...bn)

(a1b1a2b2...anbn)2.

本文来源：https://www.wddqw.com/doc/aaaac27b5e0e7cd184254b35eefdc8d377ee1476.html

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