等边三角形角平分线定理 定理：等边三角形中, 三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。 证明： 1. 假设三角形ABC是一个等边三角形，三个角的测量都是60度。 2. 连接三角形的顶点A与底边BC的中点D，同时也连接角A的平分线AE。同样，连接B与平分线CF, C与平分线BG. 3. 由于等边三角形中，三个角的测量都是60度，所以可以得到角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度。 4. 同样由于等边三角形中，AB=BC=AC，可以得到三角形ABD与三角形ACD是相等的，即AB=AC，角DAB=角DAC=30度。 5. 这意味着线段AD是三角形ABC的一个角平分线。同样由于线段BE和CF也分别是角B和角C的平分线，我们可以得到三角形ABC中的三条角平分线。 6. 接下来，我们要证明这三条角平分线会交于同一个点。假设它们交于点O。 7. 由于角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度，所以可以得到角BOC=120度。 8. 同时，由于线段AD是角A的平分线，所以可以得到角BAD=angleCAD=30度。 9. 又因为AB=AC，所以可以得到三角形ABO与三角形ACO是相等的，即AB=AC, AO=AO, 和角BAO=角CAO=30度。 10. 因此，三角形ABO与ACO是相等且全等的，从而可以得到BO=CO，即点O位于线段BC的中垂线上。 11. 可以类似地证明点O也位于线段AB和线段AC的中垂线上，所以它是三角形ABC的重心。 12. 另一方面，由于三角形ABC是等边三角形，所以利用此前已经证明过的结论，点O也是三角形ABC的垂心、外心和内心的交点。 综上所述，等边三角形中，三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/ab5c6b9f4593daef5ef7ba0d4a7302768f996f33.html