等腰三角形的性质与判定 【知识梳理】 1．等腰三角形的概念： 有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ． 2．等腰三角形性质定理： (1)等腰三角形的两个 相等，也能够说成 ． ． (3)等腰三角形是 图形． 3．等腰三角形的判定： (1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ． 【例题讲解】 例1等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长． 例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD．求证：△DBC是等腰三角形． A D BC 例3 如图，AB=AE，BC=ED， ∠B=∠E． 求证：∠C=∠D． A BE DC 例4如图，AB=AC，BD⊥AC于D． 求证：∠BAC=2∠DBC． A D BC 例5 相关等腰三角形的基本图形． （1）如图3，若OD平分∠AOB，DE∥OB交OA于E．求证：EO＝ED．提问：这个结论的逆命题是否准确？ （2）如图 3，若 OD平分∠AOB， EO＝ED，求证： DE∥OB． （3）如图 3，若 DE∥OB交OA于E， EO＝ED，求证： OD平分∠AOB． 总结：图3是相关等腰三角形的一个很33 常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的． 相关的题组练习． （1）如图4，AD∥BC， BD平分∠ABC．求证： AB＝AD． （2）已知：如图5（a），AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b），若过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c），若将第（2）题中的△ABC改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？ (4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相对应的线段和差关系如何? 推广①当过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d）． 推广②当过△ABC的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e）． （5）如图6，若BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，过D作DE∥AB交BC于E，作DF∥AC交BC于F．求证：BC的长等于△DEF的周长． 34 【课后巩固】 1．在△ABC中，AB=AC，若∠B=56º，则 ∠C=__________． 2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________． 3． 若等腰三角形的两边长分别为xcm和（2x线上，且BD＝CE，DE交BC于M，MD＝ME，求 证：△ABC是等腰三角形． A11．如图△ABC中，AB=AC，AD、BE是△ABC ADAE．求EDC的度数． －6）cm，且周长为17cm，则第三边的长为________． 4． 如图，在△ABC中，AB=AC，AAD⊥BC于D，BE⊥AC于E，若 ∠CAD=25°，则∠ABE= ，E若BC=6，则CD= ． BDC 5．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D．E是BC上的点，∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中等腰三角形有______个 6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB到D，使BD=AB，延长BC到E，使CE=CA，连接AD．AE，则∠DAE=_______． ADBCE 8．如下列图，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是 ． P Q M N G 9．△ABC中，∠C=∠B，D．E分别是AB．AC上的点，•AE=•2cm，•且DE•∥BC，•则AD=______ 10．如图，∠AOB是一个钢架且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些 钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根． 的高，它们相交于H，且AE=BE． 求证：AH=2BD． 12．△ABC为非等腰三角形，分别以AB、AC为 向△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角 形ACE，且∠DAB=∠EAC=90°． 求证：（1）BE=CD；（2）BE⊥CD． 13．如图，点D、E在ABC的边BC上，ABAC，ADAE． 求证：BDCE 35 14．如图，ABAC，BAD30，且 15.如图，ABC中，ACB90，CDBA于 D，AE平分BAC交CD于F，交BC于E，求证：CEF是等腰三角形． 16．RtABC中，ABAC，BAC90，O 为 AB中点，若点M．N分别在线段AB．AC上移 动，且在移动过程中保持ANBM，试判断 OMN的形状，并证明你的结论． 17.已知：如图，△ABC36 中，D在AB上，E在AC延长 D BCM E 18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数． 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/b5a46e5526c52cc58bd63186bceb19e8b9f6ec47.html