平面向量有关概念和定理 有关概念 向量 （自由向量） 向量的模 特 殊 向 量 定义 表示 坐标表示 既有大小又有方向的量 （可平移） 用有向线段表示（规定了起终点）记作a(a1,a2)，b(b1,b2) AB，a OA(a1,a2)，OB(b1,b2) AB(b1a1,b2a2) |AB|(b1a1)2(b2a2)2 向量的长度 方向相同大小相等的向量 |AB|，|a|aa 相等向量 a,b同向 ab|a||b|a(a1,a2)，b(b1,b2) aba1b1,a2b2 零向量 单位向量 与a同向单位向量 长度为0的向量 长度为1的向量 在a的方向上长度为1的向量 （起点和终点重合） 0 0(0,0) e，|e|1 e(cos,sin)，θ为向量和x轴夹角 ea， a|a|e |a|e(xx2y2,yx2y2) a//b存在一个实数λ，使得a(a1,a2)，b(b1,b2)a//b 向量方向相同或相反 所在直线（基线）平行或平行（共向量关系 垂直向量 定义 与a垂直且等长 三点共线向量参数方程 O,A,B不共线且APtAB ab 存在λ，使b1a1,b2a2 a(a1,a2)，b(b1,b2)a//b 重合。0与任意向量平行 a//b存在不全为零的实数λ、μ，存在λ、μ，使a1b10，线）向量 与a使得ab0（线性相关） a2b20 a//ba1a2a1b2a2b10 b1b2(a1,a2)共线 a(a1,a2) (与a共线的单位向量 向量夹角为90° 与aa12a12a2,a22a12a2)或(a12a12a2,a22a12a2) abab0 abab0 x1x2y1y20 与a垂直的单位向量 (x,y)垂直 a'(y,x) (a22a12a2aeae0 ,a12a12a2)或(a22a12a2,a12a12a2) a按顺时针方向旋转得到(a2,a1) 2a按逆时针方向旋转得到(a2,a1) 2O,A,B不共线且P分AB的比为λO,A,B不共线且A、B、C共线 OP(1t)OAtOB 称向量AB的参数方程 1即：APtPB OPOAOB 1存在唯一实数对（x，y） xy1 OCxOAyOB平行向量基本定理 平面向量基本定理 a//b(b0)存在一个实数λ，使得ab e1,e2不共线，平面内任一个，a都有唯一的一对{e1,e2}：平面的一组基底 a1,a2使aa1e1a2e2 aa1e1a2e2称a关于{e1,e2}(a1,a2)称为a关于{e1,e2}的坐标 的分解式 数量积的性质和应用 定义 ab|a||b|cosa,b ab|a||b|cosa,b a(x1,y1)，b(x2,y2) abx1x2y1y2 x1x2y1y2x1y1x2y22222向量夹角 数向量在轴上量的射影 积 三角形面积 常用公式 平移到共起点后正方向所形成的角 向量起点和终点向轴做垂线，垂足间形成的向量 cosa,bab |a||b|cosa,b b在a方向上的射影： a在b方向上的射影： abx1x2y1y222x2y2|b|ab|a|x1x2y1y2 x1y122 向量a,b构成三角形的面积 2221S|a||b|sina,b 222S1|x1x2y1y2| 22(ab)(a)2(ab)(b)|ab||a|2|a||b|cosa,b|b|；(ab)2(ab)22ab (ab)(ab)(a)(b)|a||b|；(ab)2(ab)22[(a)2(b)2]2(|a|2|b|2)； 2222a0,b0，|ab||ab|ab，|a||b|(ab)(ab) 平面向量基本运算 运算 项目 加法 三角形法则 减法 加法的逆运算 三角形法则 数乘 大小：|a||||a| 0,与同向0,与反向方向：0,a0数量积 定义或法则 平行四边形法则 多边形法则 ab|a||b|cosa,b 坐标 运算 a(x1,y1)，b(x2,y2)，a,b ab(x1x2,y1y2) ab(x1x2,y1y2) a(x12,y1) (bc)bc abx1x2y1y2 abba ab(ba) abba 运算律 a(bc)(ab)c abacbc ()aaa c(ab)cbca abacbc abacbc bcbc (bc)(b)c ()a(a)(a) 模长共线同向 共线反向 ||a||b|||ab||ab||a||b| ||a||b|||ab||ab||a||b| |a||||a| |ab||a||b| |ab||a||b| 本文来源：https://www.wddqw.com/doc/dd44f35fd8ef5ef7ba0d4a7302768e9950e76ed2.html